Wykaż, że jeżeli...- Zadanie 10.13: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$α + β + γ = 180^{\circ}$

$γ = 180^{\circ} - (α + β)$

Stąd:

$sin α + sin β + sin γ = sin α + sin β + sin (180^{\circ} - (α + β)) = 2 sin (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α - β}{2}) + sin (α + β) = 2 sin (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α - β}{2}) + sin (2 \cdot \frac{α + β}{2}) = 2 sin (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α - β}{2}) + 2 sin (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α + β}{2}) = 2 sin (\frac{α + β}{2}) [cos (\frac{α - β}{2}) + cos (\frac{α + β}{2})] = 2 sin (\frac{α + β}{2}) [2 cos (\frac{\frac{α - β}{2} + \frac{α + β}{2}}{2}) cos (\frac{\frac{α - β}{2} - \frac{α + β}{2}}{2})] = 2 sin (\frac{α + β}{2}) \cdot 2 cos (\frac{α}{2}) cos (\frac{β}{2}) = 2 sin (\frac{180 ^{\circ} - γ}{2}) \cdot 2 cos (\frac{α}{2}) cos (\frac{β}{2}) = 2 sin (90^{\circ} - \frac{γ}{2}) \cdot 2 cos (\frac{α}{2}) cos (\frac{β}{2}) = 2 cos (\frac{γ}{2}) \cdot 2 cos (\frac{α}{2}) cos (\frac{β}{2}) = 4 cos (\frac{α}{2}) cos (\frac{β}{2}) cos (\frac{γ}{2})$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.