Rozwiąż nierówność.- Zadanie 7.7: Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$D = R$

Rozwiązujemy nierówność:

$2^{x} < 7$

$2^{x} < 2^{l o g_{2} 7}$

Podstawa potęgi jest większa od 1, więc, porównując wykładniki, otrzymujemy:

$x < lo g_{2} 7$

$x \in (- \infty, lo g_{2} 7)$

b) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$D = R$

Rozwiązujemy nierówność:

$3^{x} + 3^{x + 1} > 2$

$3^{x} (1 + 3) > 2$

$3^{x} \cdot 4 > 2 ∣ : 4$

$3^{x} > \frac{1}{2}$

$3^{x} > 3^{l o g_{3} (\frac{1}{2})}$

Podstawa potęgi jest większa od 1, więc, porównując wykładniki, otrzymujemy:

$x > lo g_{3} (\frac{1}{2})$

$x \in (lo g_{3} (\frac{1}{2}), + \infty)$

c) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$2^{x} \neq = 0$

$D = R$

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{8}{2 ^{x}} \leq 3 ∣ \cdot \frac{2 ^{x}}{3} > 0$

$\frac{8}{3} \leq 2^{x}$

$2^{x} \geq \frac{8}{3}$

$2^{x} \geq 2^{l o g_{2} (\frac{8}{3})}$

Podstawa potęgi jest większa od 1, więc, porównując wykładniki, otrzymujemy:

$x \geq lo g_{2} (\frac{8}{3})$

$x \in ⟨ lo g_{2} (\frac{8}{3}), + \infty)$

d) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$125^{x} \neq = 0$

$D = R$

Rozwiązujemy nierówność:

$5^{2 x} \cdot (\frac{5}{125 ^{x}}) > 2$

$5^{2 x} \cdot \frac{5}{5 ^{3 x}} > 2$

$\frac{5}{5 ^{x}} > 2 ∣ \cdot \frac{5 ^{x}}{2} > 0$

$\frac{5}{2} > 5^{x}$

$5^{x} < \frac{5}{2}$

$5^{x} < 5^{l o g_{5} (\frac{5}{2})}$

Podstawa potęgi jest większa od 1, więc, porównując wykładniki, otrzymujemy:

$x < lo g_{5} (\frac{5}{2})$

$x < lo g_{5} 5 - lo g_{5} 2$

$x < \frac{1}{2} - lo g_{5} 2$

$x \in (- \infty, \frac{1}{2} - lo g_{5} 2)$

e) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$5 x - 3 > 0 \land 2 x - 6 > 0$

$5 x > 3 \land 2 x > 6$

$x > \frac{3}{5} \land x > 3$

$D = (3, + \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{2} (5 x - 3) > lo g_{2} (2 x - 6)$

Podstawa logarytmu jest większa od 1, więc, porównując liczby logarytmowane, otrzymujemy:

$5 x - 3 > 2 x - 6$

$x > - 3$

$x \in (- 3, + \infty)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (3, + \infty)$

f) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x + 2 > 0 \land 6 - x > 0$

$x > - 2 \land - x > - 6 ∣ \cdot (- 1)$

$x > - 2 \land x < 6$

$D = (- 2, 6)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{\frac{1}{4}} (x + 2) > lo g_{\frac{1}{4}} (6 - x)$

Podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, więc, porównując liczby logarytmowane, otrzymujemy:

$x + 2 < 6 - x$

$2 x < 4 ∣ : 2$

$x < 2$

$x \in (- \infty, 2)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in (- 2, 2)$

g) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x - 12 > 0$

$x > 12$

$D = (12, + \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{3} (x - 12) > 2$

$lo g_{3} (x - 12) > 2 lo g_{3} 3$

$lo g_{3} (x - 12) > lo g_{3} 3^{2}$

$lo g_{3} (x - 12) > lo g_{3} 9$

Podstawa logarytmu jest większa od 1, więc, porównując liczby logarytmowane, otrzymujemy:

$x - 12 > 9$

$x > 21$

$x \in (21, + \infty)$

Wyznaczony zbiór w całości zawiera się w dziedzinie nierówności.

h) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$4 - x > 0$

$- x > - 4 ∣ \cdot (- 1)$

$x < 4$

$D = (- \infty, 4)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{0, 5} (4 - x) \geq - 3$

$lo g_{0, 5} (4 - x) \geq - 3 lo g_{0, 5} 0, 5$

$lo g_{0, 5} (4 - x) \geq lo g_{0, 5} 0, 5^{- 3}$

$lo g_{0, 5} (4 - x) \geq lo g_{0, 5} 8$

Podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, więc, porównując liczby logarytmowane, otrzymujemy:

$4 - x \leq 8$

$- x \leq 4 ∣ \cdot (- 1)$

$x \geq - 4$

$x \in ⟨ - 4, + \infty)$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

$x \in ⟨ - 4, 4)$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.