$a)$     $k:3x-2y+3=0$  

$l:6x-3y+6=0$  

Przekształcamy równania obu prostych z postaci ogólnej do postaci kierunkowej.

 

$3x-2y+3=0\mid +2y$  

$3x+3=2y\mid :2$

$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}=y$

$k:y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$

 

$6x-3y+6=0\mid +3y$

$6x+6=3y\mid :3$

$2x+2=y$

$l:y=2x+2$    

 

Proste $k$  i $l$  mają różne współczynniki kierunkowe, zatem przecinają się.

Nie są prostopadłe, ponieważ

$\frac{3}{2}\cdot 2\ne -1$ .

---

$b)$     $k:4x-8y+10=0$  

$l:2x-4y-5=0$  

Przekształcamy równania obu prostych z postaci ogólnej do postaci kierunkowej.

 

$4x-8y+10=0\mid +8y$  

$4x+10=8y\mid :8$  

$\frac{4}{8}x+\frac{10}{8}=y$

$\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}=y$  

$k:y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$

 

$2x-4y-5=0\mid +4y$

$2x-5=4y\mid :4$  

$\frac{2}{4}x-\frac{5}{4}=y$

$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=y$  

$l:y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$    

 

Proste $k$  i $l$  mają takie same współczynniki kierunkowe, zatem są równoległe.

---

$c)$     $k:x-2=0$  

$l:2y-4=0$  

Przekształcamy równania obu prostych z postaci ogólnej do postaci kierunkowej.

 

$x-2=0\mid +2$  

$k:x=2$

 

$2y-4=0\mid +4$

$2y=4\mid :2$

$l:y=2$    

 

Proste $k$  i $l$  są prostopadłe.

---

$d)$     $k:\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}y-3=0$  

$l:5x-y-3=0$  

Przekształcamy równania obu prostych z postaci ogólnej do postaci kierunkowej.

 

$\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}y-3=0$  

$\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}y-3=0\mid \cdot 3$  

$x+5y-9=0\mid -5y$

$x-9=-5y\mid :5$

$\frac{1}{5}x-\frac{9}{5}=-y\mid \cdot \left(-1\right)$

$-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5}=y$

$k:y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5}$

 

$5x-y-3=0\mid +y$

$5x-3=y$

$l:y=5x-3$    

 

Proste $k$  i $l$  mają różne współczynniki kierunkowe, zatem przecinają się.

Są prostopadłe, ponieważ

$-\frac{1}{5}\cdot 5=-1$ .