Postać ogólna funkcji kwadratowej: 

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$  , $a\ne 0$  .

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$  , gdzie $p=\frac{-b}{2a}$  ,   $q=\frac{-\Delta }{4}$  ,   $\Delta =b^2-4ac$  .

 

Jeśli $\Delta \ge 0$  , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$  .

 

$a)f\left(x\right)=2x^2+12x+10$   - postać ogólna,

 

$p=\frac{-12}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-\frac{12}{4}=-3$  

$\Delta ={12}^2-4\cdot 2\cdot 10=144-80=64$  

$q=\frac{-64}{4\cdot 2}=\frac{-64}{8}=-\frac{64}{8}=-8$  

$f\left(x\right)=2{\left(x+3\right)}^2-8$  - postać kanoniczna,

 

$\Delta =64>0$  

$x_1=\frac{-12-\sqrt{64}}{2\cdot 2}=\frac{-12-8}{4}=\frac{-20}{4}=-\frac{20}{4}=-5$  

$x_2=\frac{-12+\sqrt{64}}{2\cdot 2}=\frac{-12+8}{4}=\frac{-4}{4}=-\frac{4}{4}=-1$  

$f\left(x\right)=2\left(x+5\right)\left(x+1\right)$   - postać iloczynowa.