Będziemy korzystać z następującego twierdzenia:

Jeśli  $x_1,x_2$   są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej  $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,$   $a\ne 0,$  to zachodzą związki:

$\left(1\right)x_1+x_2=-\frac{b}{a}$  

$\left(2\right)x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$  

Powyższe wzory nazywamy wzorami Viete'a.

 

$\text{a)}f\left(x\right)=x^2+4x+3$  

Ze wzoru  $\left(2\right)$   mamy:

$x_1\cdot x_2=3>0$  

Więc oba pierwiastki są tego samego znaku - albo dodatnie, albo ujemne.

Ze wzoru  $\left(1\right)$   mamy:

$x_1+x_2=-4<0$  

Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, więc  $x_1,x_2<0.$  

 

$\text{b)}f\left(x\right)=x^2+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)x-\sqrt{6}$  

Ze wzoru  $\left(2\right)$  mamy:

$x_1\cdot x_2=-\sqrt{6}<0$  

Więc pierwiastki są różnych znaków.

 

$\text{c)}\frac{1}{2}{x}^2-4\frac{1}{2}x+4$  

Ze wzoru  $\left(2\right)$  mamy:

$x_1\cdot x_2=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8>0$  

Więc oba pierwiastki są tego samego znaku - albo dodatnie, albo ujemne.

Ze wzoru  $\left(1\right)$  mamy:

$x_1+x_2=\frac{4\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=9>0$  

Suma dwóch liczb dodatnich jest zawsze liczbą dodatnią, więc  $x_1,x_2>0.$  

 

$\text{d)}f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-7x-24$  

Ze wzoru  $\left(2\right)$  mamy:

$x_1\cdot x_2=48>0$  

Więc oba pierwiastki są tego samego znaku - albo dodatnie, albo ujemne.

Ze wzoru  $\left(1\right)$  mamy:

$x_1+x_2=-14<0$  

Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, więc  $x_1,x_2<0.$