$a)$

$Z{W}_f=(-\infty ,6⟩$

 

$b)$

Mamy współrzędne wierzchołka, więc możemy zapisać postać kanoniczną: 

$W=\left(-3,6\right)\Rightarrow f\left(x\right)=a{\left(x+3\right)}^2+6$

 

Współczynnik a wyliczymy podstawiając współrzędne punktu A, który także należy do paraboli: 

$A=\left(-5,4\right)\Rightarrow f\left(-5\right)=4\Rightarrow a\cdot {\left(-5+3\right)}^2+6=4\left|-6\Rightarrow a\cdot {\left(-2\right)}^2=-2\Rightarrow 4a=-2\right|:4\Rightarrow a=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

$\underline{f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2+6}-\text{p. kanoniczna}$

 

 

$c)$

$f\left(x\right)=0$

$-\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2+6=0\mid -6$

$-\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2=-6\mid \cdot \left(-2\right)$

${\left(x+3\right)}^2=12$

$x+3=\sqrt{12}\vee x+3=-\sqrt{12}$

$x=\sqrt{12}-3=2\sqrt{3}-3\vee x=-\sqrt{12}-3=-2\sqrt{3}-3$

$\underline{x\in \left\{-2\sqrt{3}-3,2\sqrt{3}-3\right\}}-\text{miejsca zerowe}$

 

 

$d)$

$f\left(0\right)=-\frac{1}{2}\cdot {\left(0+3\right)}^2+6=-\frac{1}{2}\cdot 9+6=-\frac{9}{2}+6=-4\frac{1}{2}+6=1\frac{1}{2}$

$\underline{B=\left(0,1\frac{1}{2}\right)}$