Przekształćmy wyrażenie z licznika:

$2-3+4-5+\dots -\left(2n-1\right)+2n=\underset{=S_1}{\underbrace{2+4+\dots +2n}}-\underset{=S_2}{\underbrace{\left(3+5+7+2n-1\right)}}$  

Zatem wzór ciągu możemy zapisać w postaci

$a_n=\frac{S_1-S_2}{n}$  

---

Zauważmy, że

$S_1=2+4+\dots +2n=\frac{2+2n}{2}\cdot n=\left(n+1\right)n$  

---

  $3+5+7+\dots +2n-1$  to suma ciągu arytmetycznego, gdzie  $a_1=3,r=2,a_n=2n-1$  

Należy wyznaczyć ilość wyrazów ciągu korzystając ze wzoru  $a_n=a_1+\left(x-1\right)\cdot r$   ,gdzie x oznacza ilość wyrazów tego ciągu.

Otrzymujemy:

$2n-1=3+\left(x-1\right)\cdot 2$  

$2n-1=3+2x-2$  

$2n-2=2x\mid :2$  

$n-1=x$  

więc

$S_2=3+5+7+\dots +2n-1=\frac{3+2n-1}{2}\cdot \left(n-1\right)=\frac{2n+2}{2}\cdot \left(n-1\right)=\left(n+1\right)\left(n-1\right)$  

---

Skąd dostajemy

$a_n=\frac{S_1-S_2}{n}=\frac{\left(n+1\right)n-\left(n+1\right)\left(n-1\right)}{n}=\frac{\left(n+1\right)\left(n-\left(n-1\right)\right)}{n}=\frac{\left(n+1\right)\cdot 1}{n}=\frac{n+1}{n}$  

---

---

$\text{a)}{a}_3=\frac{\left(3+1\right)}{3}=\frac{4}{3}$  

---

---

$\text{b)}{a}_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}$  

Różnica:

$a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{\left(n+2\right)\cdot n}{n\left(n+1\right)}-\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+2n-{\left(n+1\right)}^2}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n\left(n+1\right)}=-\frac{1}{n\left(n+1\right)}$  

Różnica jest mniejsza od 0 dla dowolnego n, zatem ciąg jest malejący.