Rozwiąż nierówność:- Zadanie 7.181: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Jeżeli ma istnieć suma takiego szeregu to:

$∣ q ∣ < 1$

zatem

$\frac{x}{x - 1} < 1$

$\frac{x - 1 + 1}{x - 1} < 1$

$1 + \frac{1}{x - 1} < 1$

$- 1 < 1 + \frac{1}{x - 1} < 1$

rozwiążemy obie nierówności a potem weźmiemy część wspólną obu rozwiązań by wyznaczyć dziedzinę nierówności:

$0 < 2 + \frac{1}{x - 1}$

$0 < \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

$0 < \frac{2 x - 2 + 1}{x - 1}$

$0 < \frac{2 x - 1}{x - 1}$

$0 < (2 x - 1) (x - 1)$

$x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = 1$

$x \in (- \infty, \frac{1}{2}) \cup (1, \infty)$

Druga nierówność:

$1 + \frac{1}{x - 1} < 1$

$\frac{1}{x - 1} < 0$

$x - 1 < 0$

$x < 1$

zatem

$x \in (- \infty, 1)$

Część wspólna:

$x \in (- \infty, \frac{1}{2})$

Skorzystamy ze wzoru na sumę:

$\frac{a _{1}}{1 - q} < 2$

$\frac{\frac{x}{x - 1}}{1 - \frac{x}{x - 1}} < 2$

$\frac{\frac{x}{x - 1}}{\frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1}} < 2$

$\frac{\frac{x}{x - 1}}{- \frac{1}{x - 1}} < 2$

$- \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1) < 2$

$- x < 2$

$x > - 2$

Uwzględniając założenia:

$x \in (- 2, \frac{1}{2})$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.