Jeżeli ma istnieć suma takiego szeregu to:

$\left|q\right|<1$  

zatem

$\left|\frac{x}{x-1}\right|<1$  

$\left|\frac{x-1+1}{x-1}\right|<1$  

$\left|1+\frac{1}{x-1}\right|<1$  

$-1<1+\frac{1}{x-1}<1$  

rozwiążemy obie nierówności a potem weźmiemy część wspólną obu rozwiązań by wyznaczyć dziedzinę nierówności:

$0<2+\frac{1}{x-1}$  

$0<\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}$   

$0<\frac{2x-2+1}{x-1}$  

$0<\frac{2x-1}{x-1}$  

$0<\left(2x-1\right)\left(x-1\right)$  

$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$  

$x\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,\infty \right)$  

 

Druga nierówność:

$1+\frac{1}{x-1}<1$  

$\frac{1}{x-1}<0$   

$x-1<0$  

$x<1$  

zatem

$x\in \left(-\infty ,1\right)$  

Część wspólna:

$x\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$  

 

 

Skorzystamy ze wzoru na sumę:

$\frac{a_1}{1-q}<2$  

$\frac{\frac{x}{x-1}}{1-\frac{x}{x-1}}<2$  

$\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-1}{x-1}-\frac{x}{x-1}}<2$  

$\frac{\frac{x}{x-1}}{-\frac{1}{x-1}}<2$  

$-\frac{x}{x-1}\cdot \left(x-1\right)<2$  

$-x<2$  

$x>-2$  

Uwzględniając założenia:

$x\in \left(-2,\frac{1}{2}\right)$