a) Założenia:

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

Dziedzina równania:

$D=R\backslash \left\{-1\right\}$    

 

Przekształćmy lewą stronę równania stosując przekształcenie:

$a^2+b^2={\left(a-b\right)}^2+2ab$  

A więc:

$x^2+{\left(\frac{x}{x+1}\right)}^2={\left(x-\frac{x}{x+1}\right)}^2+2\cdot x\cdot \frac{x}{x+1}={\left(\frac{x\left(x+1\right)}{x+1}-\frac{x}{x+1}\right)}^2+2\cdot \frac{x^2}{x+1}={\left(\frac{x^2}{x+1}\right)}^2+2\cdot \frac{x^2}{x+1}$  

Skorzystajmy z podstawienia pomocniczego:

$t=\frac{x^2}{x+1}$  

 

$t^2+2t=8$  

$t^2+2t-8=0$  

$t^2-2t+4t-8=0$  

$t\left(t-2\right)+4\left(t-2\right)=0$  

$\left(t-2\right)\left(t+4\right)=0$  

$t_1=2\vee t_2=-4$  

stąd

$\frac{x^2}{x+1}=2\vee \frac{x^2}{x+1}=-4$  

$x^2=2\left(x+1\right)\vee x^2=-4\left(x+1\right)$  

$x^2=2x+2\vee x^2=-4x-4$  

$x^2-2x-2=0\vee x^2+4x+4=0$  

Obliczmy pomocniczo wyróżnik pierwszego trójmianu:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=4+8=12$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

$x_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$  

$x_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$  

 

drugi trójmian:

$x^2+4x+4=0$  

${\left(x+2\right)}^2=0$  

$x=-2$  

Rozwiązaniem równania są liczby:

$-2,1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}$