Rozwiąż równania:- Zadanie 6.79: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Rozłóżmy wielomiany na czynniki pierwsze:

$x^{2} + x - 12 = x^{2} - 3 x + 4 x - 12 = x (x - 3) + 4 (x - 3) = (x - 3) (x + 4)$

$x^{2} - x - 6 = x^{2} + 2 x - 3 x - 6 = x (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x - 3)$

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$

Założenie:

$x - 3 \neq = 0 \land x + 4 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0$

$x \neq = 3 \land x \neq = - 4 \land x \neq = - 2 \land x \neq = - 3$

Dziedzina równania:

$D = R \ {- 4, - 3, - 2, 3}$

$\frac{x + 9}{( x - 3 ) ( x + 4 )} - \frac{x + 5}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = \frac{x - 1}{( x - 3 ) ( x + 3 )} ∣ \cdot (x - 3) (x + 4) (x + 2) (x + 3)$

$(x + 9) (x + 2) (x + 3) - (x + 5) (x + 4) (x + 3) = (x - 1) (x + 4) (x + 2)$

$(x + 9) (x^{2} + 5 x + 6) - (x + 5) (x^{2} + 7 x + 12) = (x - 1) (x^{2} + 6 x + 8)$

$(x^{3} + 5 x^{2} + 6 x + 9 x^{2} + 45 x + 54) - (x^{3} + 7 x^{2} + 12 x + 5 x^{2} + 35 x + 60) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x - x^{2} - 6 x - 8$

$x^{3} + 14 x^{2} + 51 x + 54 - (x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60) = x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$

$2 x^{2} + 4 x - 6 = x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

$x^{3} - x^{2} + 4 x^{2} - 4 x + 2 x - 2 = 0$

$x^{2} (x - 1) + 4 x (x - 1) + 2 (x - 1) = 0$

$(x - 1) [x^{2} + 4 x + 2] = 0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu:

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

$Δ = 22$

$x_{1} = \frac{- 4 - 2 2}{2} = - 2 - 2$

$x_{2} = \frac{- 4 + 2 2}{2} = - 2 + 2$

$x_{3} = 1$

Rozwiązaniem równania są liczby:

$- 2 - 2, - 2 + 2, 1$

b) Rozłóżmy wielomiany na czynniki pierwsze:

$x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} - x + 3 x - 3 = x (x - 1) + 3 (x - 1) = (x - 1) (x + 3)$

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$

$2 x^{2} - 2 x = 2 x (x - 1)$

Założenia:

$x - 1 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x \neq = - 3 \land x \neq = - 1 \land x \neq = 0$

Dziedzina równania:

$D = R \ {- 3, - 1, 0, 1}$

$\frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 3 )} + \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x + 1}{2 x ( x - 1 )} ∣ \cdot 2 x (x - 1) (x + 3) (x + 1)$

$2 x (x + 1)^{2} + 4 x (x + 3) = (2 x + 1) (x + 3) (x + 1)$

$2 x (x^{2} + 2 x + 1) + 4 x^{2} + 12 x = (2 x + 1) (x^{2} + 4 x + 3)$

$2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 4 x^{2} + 12 x = 2 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x + x^{2} + 4 x + 3$

$2 x^{3} + 8 x^{2} + 14 x = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x + 3$

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$x^{2} - x - 3 x + 3 = 0$

$x (x - 1) - 3 (x - 1) = 0$

$(x - 1) (x - 3) = 0$

$x_{1} = 1 \lor x_{2} = 3$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że rozwiązaniem równania jest liczba 3.

c) Rozłóżmy wielomiany na czynniki pierwsze:

$x^{2} - 5 x + 6 = x^{2} - 2 x - 3 x + 6 = x (x - 2) - 3 (x - 2) = (x - 2) (x - 3)$

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

$x^{2} - x - 6 = x^{2} + 2 x - 3 x - 6 = x (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x - 3)$

$x^{2} + 2 x - 8 = x^{2} - 2 x + 4 x - 8 = x (x - 2) + 4 (x - 2) = (x - 2) (x + 4)$

Założenie:

$x - 2 \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x + 4 \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = 3 \land x \neq = - 2 \land x \neq = - 4$

$\frac{x + 1}{( x - 2 ) ( x - 3 )} - \frac{x + 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 7}{( x + 2 ) ( x - 3 )} - \frac{x + 4}{( x - 2 ) ( x + 4 )}$

Pomnóżmy równanie obustronnie przez (x-2)(x-3)(x+2)(x+4)

$(x + 1) (x + 2) (x + 4) - (x + 2) (x - 3) (x + 4) = (x - 7) (x - 2) (x + 4) - (x + 4) (x - 3) (x + 2)$

$(x + 1) (x^{2} + 6 x + 8) - (x + 2) (x^{2} + x - 12) = (x - 7) (x^{2} + 2 x - 8) - (x + 4) (x^{2} - x - 6)$

$x^{3} + 6 x^{2} + 8 x + x^{2} + 6 x + 8 - (x^{3} + x^{2} - 12 x + 2 x^{2} + 2 x - 24) = x^{3} + 2 x^{2} - 8 x - 7 x^{2} - 14 x + 56 - (x^{3} - x^{2} - 6 x + 4 x^{2} - 4 x - 24)$

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8 - (x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24) = x^{3} - 5 x^{2} - 22 x + 56 - (x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24)$

$4 x^{2} + 24 x + 32 = - 8 x^{2} - 12 x + 80$

$12 x^{2} + 36 x - 48 = 0 ∣ : 12$

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - x + 4 x - 4 = 0$

$x (x - 1) + 4 (x - 1) = 0$

$(x - 1) (x + 4) = 0$

$x_{1} = 1 \lor x_{2} = - 4$

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że rozwiązaniem równania jest liczba 1.

d) Rozłóżmy wielomiany na czynniki:

$x^{2} + 4 x + 3 = x^{2} + x + 3 x + 3 = x (x + 1) + 3 (x + 1) = (x + 1) (x + 3)$

$x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3)$

$x^{2} + 5 x + 4 = x^{2} + x + 4 x + 4 = x (x + 1) + 4 (x + 1) = (x + 1) (x + 4)$

$x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x + 2 x + 2 = x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$

Założenie:

$x + 1 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x + 4 \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land x \neq = - 3 \land x \neq = - 2 \land x \neq = - 4$

Dziedzina równania:

$D = R \ {- 4, - 3, - 2, - 1}$

$\frac{6 x + 3}{( x + 1 ) ( x + 3 )} - \frac{9 x + 2}{( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{7 x + 4}{( x + 1 ) ( x + 4 )} - \frac{5 x + 2}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$

Pomnóżmy całe równanie przez wielomian (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

$(6 x + 3) (x + 2) (x + 4) - (9 x + 2) (x + 1) (x + 4) = (7 x + 4) (x + 2) (x + 3) - (5 x + 2) (x + 3) (x + 4)$

$(6 x + 3) (x^{2} + 6 x + 8) - (9 x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = (7 x + 4) (x^{2} + 5 x + 6) - (5 x + 2) (x^{2} + 7 x + 12)$

$6 x^{3} + 36 x^{2} + 48 x + 3 x^{2} + 18 x + 24 - (9 x^{3} + 45 x^{2} + 36 x + 2 x^{2} + 10 x + 8) = (7 x^{3} + 35 x^{2} + 42 x + 4 x^{2} + 20 x + 24) - (5 x^{3} + 35 x^{2} + 60 x + 2 x^{2} + 14 x + 24)$

$6 x^{3} + 39 x^{2} + 66 x + 24 - (9 x^{3} + 47 x^{2} + 46 x + 8) = (7 x^{3} + 39 x^{2} + 62 x + 24) - (5 x^{3} + 37 x^{2} + 74 x + 24)$

$- 3 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 16 = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 12 x$

$5 x^{3} + 10 x^{2} - 32 x - 16 = 0$

$5 x^{3} - 10 x^{2} + 20 x^{2} - 40 x + 8 x - 16 = 0$

$5 x^{2} (x - 2) + 20 x (x - 2) + 8 (x - 2) = 0$

$(x - 2) [5 x^{2} + 20 x + 8] = 0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu:

$Δ = 20^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 400 - 160 = 240$

$Δ = 240 = 16 \cdot 15 = 415$

$x_{1} = \frac{- 20 - 4 15}{10} = - \frac{10 + 2 15}{5}$

$x_{2} = \frac{- 20 + 4 15}{10} = \frac{- 10 + 2 15}{5}$

$x_{3} = 2$

Rozwiązaniami równania są liczby:

$- \frac{10 + 2 15}{5}, \frac{- 10 + 2 15}{5}, 2$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.