Podstawienie pomocnicze:

$t=x^2,t\in \left[0,\infty \right)$  

 

$t^2-3mt-4m^2+4=0$

Jeżeli początkowe równanie ma mieć trzy różne rozwiązania to równanie po podstawieniu pomocniczym musi mieć dwa pierwiastki.

$1)\Delta >0$  

Jednym z pierwiastków musi być 0(gdyż będzie pierwiastkiem dwukrotnym) a drugim pewna liczba dodatnia. A więc:

$2)t_1\cdot t_2=0$  

$3)t_1+t_2>0$  

 

Pierwszy warunek:

$\Delta ={\left(-3m\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4m^2+4\right)=9m^2+16m^2-16=25m^2-16$  

$25m^2-16>0$  

$\left(5m-4\right)\left(5m+4\right)>0$  

$m_1=\frac{4}{5}\vee m_2=-\frac{4}{5}$  

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc:

$m\in \left(-\infty ,-\frac{4}{5}\right)\cup \left(\frac{4}{5},\infty \right)$  

 

Drugi warunek:

$t_1\cdot t_2=0$  

$\frac{c}{a}=0$  

$\frac{-4m^2+4}{1}=0$  

$-4m^2+4=0$  

$4m^2=4$  

$m^2=1$  

$m_1=1\vee m_2=-1$  

 

Trzeci warunek:

$t_1+t_2>0$  

$-\frac{b}{a}>0$  

$\frac{3m}{1}>0$

$3m>0$   

$m>0$  

$m\in \left(0,\infty \right)$  

 

Wyjściowe równanie ma trzy różne pierwiastki dla m = 1.

 

Dla m = 1 rozwiążmy zadaną nierówność:

$x^4-3x^2-4+4\ge 0$   

$x^4-3x^2\ge 0$  

$x^2\left(x^2-3\right)\ge 0$  

$x^2\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\ge 0$  

$x_1=0\vee x_2=\sqrt{3}\vee x_3=-\sqrt{3}$  

Rysunek pomocniczy:

$x\in \left(-\infty ,-\sqrt{3}\right]\cup \left[\sqrt{3},\infty \right)\cup \left\{0\right\}$