$x^4+\left(1-2m\right)x^2+m+\frac{3}{2}=0\left(1\right)$  

Podstawiamy  $x^2=t.$  

$t^2+\left(1-2m\right)t+m+\frac{3}{2}=0\left(2\right)$  

Równanie  $\left(1\right)$  jest sprzeczne, gdy równanie  $\left(2\right)$  nie ma rozwiązań lub ma wyłącznie rozwiązania ujemne. 

Aby tak było, muszą być spełnione warunki:

$\left(\ast \right)\Delta <0\vee \left(\star \right)\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ -\frac{b}{a}<0\\ \frac{c}{a}>0\end{array}$   

---

Obliczamy wyróżnik  $\Delta :$  

$\Delta ={\left(1-2m\right)}^2-4\left(m+\frac{3}{2}\right)=1-4m+4m^2-4m-6=4m^2-8m-5$  

---

Rozwiązujemy warunek  $\left(\ast \right):$  

$\Delta <0$  

$4m^2-8m-5<0$  

${\Delta }_m=64+80=144,\sqrt{{\Delta }_m}=12$  

$m=\frac{8-12}{8}=-\frac{1}{2}\vee m=\frac{8+12}{8}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$  

$m\in \left(-\frac{1}{2},2\frac{1}{2}\right)$  

---

Rozwiązujemy warunki zadane układem równań  $\left(\star \right):$  

$\Delta \ge 0$  

$4m^2-8m-5\ge 0$  

$m\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩\cup ⟨2\frac{1}{2},+\infty )$  

---

$-\frac{b}{a}<0$  

$2m-1<0$  

$2m<1\text{/}:2$  

$m<\frac{1}{2}$  

$m\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$  

---

$\frac{c}{a}>0$  

$m+1\frac{1}{2}>0$  

$m>-1\frac{1}{2}$  

$m\in \left(-1\frac{1}{2},+\infty \right)$  

---

Mamy więc:

$\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ -\frac{b}{a}<0\\ \frac{c}{a}>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\in (-\infty ,-\frac{1}{2}⟩\cup ⟨2\frac{1}{2},+\infty )\\ m\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\\ m\in \left(-1\frac{1}{2},+\infty \right)\end{array}\iff m\in (-1\frac{1}{2},-\frac{1}{2}⟩$  

---

Sumujemy rozwiązania warunków  $\left(\ast \right)$  i  $\left(\star \right):$  

$m\in \left(-\frac{1}{2},2\frac{1}{2}\right)\vee m\in (-1\frac{1}{2},-\frac{1}{2}⟩$  

$m\in \left(-1\frac{1}{2},2\frac{1}{2}\right)$  

Odp. Równanie  $\left(1\right)$   jest sprzeczne dla  $m\in \left(-1\frac{1}{2},2\frac{1}{2}\right).$