Pokażemy, że sumy przeciwległych kątów czworokąta CDEB są równe 180⁰.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą:

$\left|\sphericalangle COA\right|=2\alpha$  

$\left|\sphericalangle AOB\right|=2\beta$  

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Stąd:

$\left|\sphericalangle CBA\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle COA\right|=\frac{1}{2}\cdot 2\alpha =\alpha$  

$\left|\sphericalangle ACB\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle AOB\right|=\frac{1}{2}\cdot 2\beta =\beta$  

---

Chcemy pokazać, że:

$\alpha +\epsilon =\beta +\zeta ={180}^{\circ }$  

---

Z równoległości stycznej i siecznej wynika, że:

$\beta =\delta ,$  

$\alpha =\gamma ,$  

jako kąty odpowiadające.

 

Kąty  $\zeta$  i  $\delta$  oraz  $\epsilon$  i  $\gamma$  to kąty przyległe. Stąd:

$\zeta ={180}^{\circ }-\delta ={180}^{\circ }-\beta$  

$\epsilon ={180}^{\circ }-\gamma ={180}^{\circ }-\alpha$  

 

A stąd wynika, że:

$\alpha +\epsilon =\alpha +{180}^{\circ }-\alpha ={180}^{\circ }$  

$\beta +\zeta =\beta +{180}^{\circ }-\beta ={180}^{\circ }$  

Pokazaliśmy, że sumy przeciwległych kątów czworokąta CDEB są równe 180⁰, a to dowodzi, że można na nim opisać okrąg.