$a)$   

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej  $f$  są liczby 4 i -6. Wzór tej funkcji możemy więc zapisać w postaci:

$f\left(x\right)=a\left(x-4\right)\left(x+6\right)$  

Jest to postać iloczynowa funkcji kwadratowej. 

Jeżeli mamy podane miejsca zerowe paraboli, to jej wierzchołek leży po środku między tymi pierwiastkami. Jego pierwsza współrzędna jest równa:

$p=\frac{4+\left(-6\right)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

Wiemy, że wartość funkcji  $f$  dla liczby -1 jest jest równa -5 (bo w wierzchołku funkcja ta posiada wartość najmniejszą). Możemy więc zapisać:

$f\left(-1\right)=-5$  

Wyznaczamy współczynnik  $a$ .

$a\left(-1-4\right)\left(-1+6\right)=-5$  

$a\cdot \left(-5\right)\cdot 5=-5$  

$a\cdot 5=1$  

$a=\frac{1}{5}$  

Mamy więc:

$f\left(x\right)=\frac{1}{5}\left(x-4\right)\left(x+6\right)$  

Wzór tej funkcji przekształcimy do postaci ogólnej.

$f\left(x\right)=\frac{1}{5}\left(x-4\right)\left(x+6\right)=\frac{1}{5}\left(x^2+6x-4x-24\right)=\frac{1}{5}\left(x^2+2x-24\right)=$  

$=\frac{1}{5}{x}^2+\frac{2}{5}x-\frac{24}{5}=\frac{1}{5}{x}^2+\frac{2}{5}x-4\frac{4}{5}$  

---

$b)$  

Wyznaczamy zbiór argumentów, dla których funkcja  $f$  przyjmuje wartości większe od 120.

$f\left(x\right)>120$  

$\frac{1}{5}{x}^2+\frac{2}{5}x-4\frac{4}{5}>120\mid \cdot 5$  

$x^2+2x-24>600\mid -600$  

$x^2+2x-624>0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki.

$\Delta =4+4\cdot 624=2500$  

$x_1=\frac{-2-\sqrt{2500}}{2\cdot 1}=\frac{-2-50}{2}=-26$  

$x_2=\frac{-2+\sqrt{2500}}{2\cdot 1}=\frac{-2+50}{2}=24$  

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (1>0), więc ramiona paraboli $y=x^2+2x-624$  skierowane są do góry.

Zatem:

$\underline{x\in \left(-\infty ,-26\right)\cup \left(24,+\infty \right)}$