Znajdź rozwinięcia dziesiętne...

Liczby wymierne to takie liczby, które możemy przedstawić w postaci ułamka `p/q`  , gdzie p i q są liczbami całkowitymi (co zapisujemy `p in C`  i  `q in C`) oraz `q!=0` .

Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy symbolem W lub Q. 

Przykłady liczb wymiernych:  `23/45, \ \ 1/2, \ \ 2 1/2=5/2, \ \ -2 1/2=-5/2, \ \ 14=14/1, \ \ 0=0/1` 

Każda liczba wymierna posiada rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, o których przeczytasz poniżej

Rozwinięcia dziesiętne

Uwaga

Wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi, ponieważ można przedstawić je w postaci ułamka zwykłego, np:

`14 = 14/1 \ \ , \ \ -2= (-2)/1 \ \ , \ \ 4 = 4/1 \ \ , \ \ -113 = (-113)/1 \ \ , \ \ 0 = 0/2 = 0/10 = 0/(-3)` 

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej to przedstawienie tej liczby w postaci ułamka dziesiętnego.

• Przypadek 1.
  
  Ułamek zwykły posiadający w mianowniku 10, 100, 1000, ...

  Ułamki takie zamieniamy na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer jest w liczbie występującej w mianowniku.
  
  Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka należy, pomiędzy przecinkiem a liczbą z licznika dopisać odpowiednią ilość zer.

  Jeżeli nasza liczba jest mniejsza od 1, to przed przecinkiem stawiamy cyfrę zero.

  Przykłady:

  • `3/10 = 0,3`  ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero).

  • `64/100 = 0,64`  ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry.

  • `482/1000 = 0,482`  ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry.

  • `45/10 = 4,5`  ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra.

  • `2374/100 = 23,74`  ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry.
     

• Przypadek 2.
  
  Ułamek zwykły, który możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000, ...

  Ułamek najpierw rozszerzamy lub skracamy tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000, …. Następnie postępujemy jak w przypadku 1.

  Przykłady:

  • `1/2 = (1*5)/(2*5) = 5/10 = 0,5` 
    
    
  • `3/20 = (3*5)/(20*5) = 15/100 = 0,15` 
    
    
  • `80/400 = (80:40)/(400:40) = 2/10=0,2` 
    
     

• Przypadek 3.
  
  Dowolny ułamek zwykły.

  Dzielimy licznik przez mianownik, postępując podobnie jak w przypadku dzielenia pisemnego liczb naturalnych.

  Przykłady:

  a. Zamień ułamek `1/3`  na ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

  

  `1/3=0,333... = 0,(3)` 
   

  b. Zamień ułamek `5/66`  na ułamek zwykły, dzieląc licznik przez mianownik.

  
   

  `5/66 = 0,07575... = 0,0(75)` 
   

  c. Zamień ułamek `4/35`  na ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.

  
   

  `4/35=0,1142857... = 0,1(142857)`  
   

Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej może być:

1. skończone,
2. nieskończone okresowe.
   
   

Rozwinięcie dziesiętne skończone to postać dziesiętna ułamka zwykłego, w której po przecinku występuje skończona ilość cyfr.

Przykłady:

• `1/2=0,5` 
  
  
• `7/{16}= 0,4375` 
  
  
• `3/20= 0,15` 
  
  

Rozwinięcie nieskończone okresowe to postać dziesiętna ułamka, w której po przecinku występuje nieskończona ilość cyfr, które od pewnego miejsca się powtarzają. Powtarzające się cyfry nazywamy okresem rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego, który zapisujemy w nawiasie.

Przykłady:

• `1/3= 0,3333...=0,(3)` 
  
  
• `9/{11}= 0,8181...=0,(81)` 
  
  
• `7/{15}= 0,466...=0,4(6)` 
  
  
• `{33}/7= 4,714285714285…=4,(714285)`