Zauważmy, że jeżeli połączymy środki wszystkich kul, to otrzymujemy ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość:

Z treści zadani wiemy, że promień kul wynosi:

$r=1$  

Wówczas podstawa ab tego prostopadłościanu jest kwadratem o bokach długości:

$a=b=4r$  

$a=b=4\cdot 1$  

$a=b=4$  

Krawędź ostrosłupa jest dwukrotną długością promienia jednej kulki:

$x=2r$  

$x=2\cdot 1$  

$x=2$  

Przekątna podstawy ostrosłupa będzie wynosiła:

$d=x\sqrt{2}$  

$d=2\sqrt{2}$  

Wówczas wysokość tego ostrosłupa będzie miała postać:

$h^2+{\left(\frac{1}{2}d\right)}^2=x^2$  

$h^2+{\left(\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\right)}^2=2^2$  

$h^2+2=4\mid -2$  

$h^2=2\mid \sqrt{}$  

$h=\sqrt{2}$  

Wówczas wysokość najmniejszego prostopadłościanu, w którym zmieszczą się kule wynosi:

$c=2r+h$  

$c=2\cdot 1+\sqrt{2}$  

$c=2+\sqrt{2}$  

Odp.: Minimalne wymiany pudełka wynoszą:  $4\times 4\times 2+\sqrt{2}.$