Matematyka

Liczy się matematyka 3 (Podręcznik, WSiP )

Narysuj wykres funkcji liniowej, a następnie... 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Narysuj wykres funkcji liniowej, a następnie...

Ćwiczenie 4
 Zadanie

Dla każdej funkcji wyznaczamy dwa punkty, które należą do jej wykresu.

Zaznaczamy otrzymane punkty w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

Narysowana prosta będzie wykresem danej funkcji liniowej.

Następnie, na podstawie rysunku, ocenimy czy funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała.

`"a)"\ y=8x` 

Punkty należące do wykresu funkcji: `(0,\ 0),\ (1,\ 8),`bo:

dla `x=0:` 

`y=8*0=0` 

dla `x=1:` 

`y=8*1=8` 

Po naniesieniu punktów w układzie współrzędnych otrzymamy następujący wykres funkcji:

Wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji, więc jest ona rosnąca.

 

`"b)"\ y=-0,001x+1000` 

Punkty należące do wykresu funkcji: `(0,\ 1000),\ (1000,\ 999),`bo:

dla `x=0:` 

`y=-0,001*0+1000=1000` 

dla `x=1000:` 

`y=-0,001*1000+1000=-1+1000=999` 

Po naniesieniu punktów w układzie współrzędnych otrzymamy następujący wykres funkcji:

 

Wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji, więc jest ona malejąca.

 

`"c)"\ y=4 6/37x-37=154/37x-37` 

Punkty należące do wykresu funkcji: `(0,\ -37),\ (37,\ 117),`bo:

dla `x=0:` 

`y=-154/37*0-37=-37` 

dla `x=37:` 

`y=154/37*37-37=154-37=117` 

Po naniesieniu punktów w układzie współrzędnych otrzymamy następujący wykres funkcji:

Wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji, więc jest ona rosnąca.

 

`"d)"\ y=-3456` 

Punkty należące do wykresu funkcji: `(0,\ -3456),\ (2000,\ -3456),`bo:

dla `x=0:` 

`y=-3456` 

dla `x=2000:` 

`y=-3456` 

Po naniesieniu punktów w układzie współrzędnych otrzymamy następujący wykres funkcji:

Wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji się nie zmieniają, są stałe, zatem funkcja jest stała.

DYSKUSJA
Informacje
Liczy się matematyka 3
Autorzy: Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wykres funkcji

Przejdźmy zatem do tego co nas zapewne czeka na sprawdzianach i na maturze. Sprawdzenie czy wykres jest funkcją.

Wykres jest funkcją kiedy dowolną pionową linię układu współrzędnych wykres przetnie tylko raz. Jak to najłatwiej zobaczyć? Za pomocą linijki!

Mamy taki oto wykres:

wyk1

Załóżmy, że gruby niebieski pasek będzie moją linijką. Zaczynamy od lewej skrajnej części układu:

wyk2

A następnie przesuwamy w prawą stronę patrząc czy nasz pasek jest gdzieś przecinany więcej niż raz równocześnie.

Pokażę tu kilka faz:

wyk3

Przecina tylko raz

wyk4

Tu też

wyk5

Koniec sprawdzania, wykres jest funkcją.

Weźmy inny wykres:

wyk11

Przesuńmy naszą „linijkę”:

wyk12 
Nadal przecina raz

wyk13

Jednak tutaj już dwa razy, nie jest to funkcja.
 
Funkcja ciągła
Funkcja ciągła to intuicyjnie taka funkcja, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma żadnych nagłych "przeskoków". Jednak ta definicja, poza tym, że jest mało precyzyjna, zawiera błąd. Na przykład funkcję $$f(x) = frac{1}{x}$$ nazywamy funkcją ciągłą, mimo, że przecież nie da się narysować jej wykresu od $$-1$$ do $$1$$ bez odrywania ołówka. Dzieje się tak, ponieważ funkcja może być ciągła tylko w swojej dziedzinie - poza dziedziną przecież "nie istnieje", więcn nie można nic o niej powiedzieć.

Precyzyjną definicją ciągłości jest to, czy dla każdego $$x f(x)$$ jest równe granicy w tym punkcie. Intuicyjnie wydaje się to poprawne: jeśli coraz bardziej zbliżamy się do punktu $$x_0$$ i jesteśmy coraz bliżej jego wartości, to jeśli w końcu dotrzemy w $$x_0$$, to powinniśmy tam znaleźć wartość właśnie $$f(x_0)$$.

Funkcje ciągłe mają tę ciekawą właściwość, że na przedziale przyjmują wszystkie wartości pośrednie. To znaczy, że jeśli na przykład w punkcie $$x = 0 f(x) = 2$$, a w punkcie $$x = 1 f(x) = -2$$, to wiemy, że w tym przedziale na pewno znajdzie się taki punkt $$a$$, że $$f(a) = 0$$. (Oczywiście funkcja musi być określona na całym tym przedziale)

Ważne jest to, że wykonując operacje arytmetyczne oraz składając funkcje ciągłe otrzymujemy zawsze funkcje ciągłe - dlatego wszystkie "normalne", tzn określone "prostym" wzorem (jak na przykład wielomiany lub funkcje trygonometryczne) będą ciągłe.
Zobacz także
Udostępnij zadanie