Nie musimy wykonywać dokładnych obliczeń, interesują nas tylko ostatnie liczby. W zadaniu pojawiają się potęgi liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. 

Zastanówmy się, jakie są ostatnie cyfry potęg tych liczb.

 

$\text{liczba 1}$

Jedynka podniesiona do dowolnej potęgi jest zawsze równa 1, dlatego ostatnią cyfrą potęgi liczby 1 zawsze będzie 1. 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$\text{liczba 2}$

Zapiszmy kilka kolejnych potęg dwójki:

$2^1=\underline{\underline{2}}$

$2^2=2\cdot 2=\underline{\underline{4}}$

$2^3=2\cdot 2\cdot 2=4\cdot 2=\underline{\underline{8}}$

$2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=8\cdot 2=1\underline{\underline{6}}$

$2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16\cdot 2=3\underline{\underline{2}}$

$2^6=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32\cdot 2=6\underline{\underline{4}}$

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 2, 4, 8, 6, 2, 4, itd. Zatem:

• ostatnia cyfra to 2, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 
• ostatnia cyfra to 4, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
• ostatnia cyfra to 8, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
• ostatnia cyfra to 6, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

 

$\underline{\underline{}}$

 

$\text{liczba 3}$

Zapiszmy kilka kolejnych potęg trójki: 

$3^1=\underline{\underline{3}}$