Sprawdź, czy opisane przyporządkowanie ... - Zadanie 16: Matematyka na czasie! 3 - strona 8
Matematyka
Matematyka na czasie! 3 (Zbiór zadań, Nowa Era )
Sprawdź, czy opisane przyporządkowanie ... 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka
Zadanie premium

Rozwiązanie tego zadania jest widoczne tylko dla użytkowników Premium dla klasy III gimnazjum

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
III gimnazjum
Informacje
Autorzy: Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326730047
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Logarytmy

Matura rozszerzona w zakresie logarytmów nie wymaga tak naprawdę więcej niż dwóch dodatkowych rzeczy w odniesieniu do matury podstawowej.

Pierwszą z nich jest wyłączenie przed logarytm wykładnika. Z poprzedniego tekstu o logarytmach, wiecie już, że $log_{a} b^c = c×log_{a} b$

Co jednak, jeśli mamy sytuację $log_{(a^b)} c$.
Okazuje się, że coś takiego jest równe po prostu ${1}/{b} log_{a} c$.

Dlaczego?
Dowód jest całkiem prosty:

Najpierw korzystamy z własności, że $log_{a} b = {1}/{ {log_{b} } a$ i otrzymujemy $log_{(a^b)} c = {1}/{log_{c} } (a^b)$. Później wyłączamy wykładnik przed logarytm i znowu odwracamy ułamek, w efekcie otrzymując faktycznie ${1}/{b} log_{a} c$.

Składając to z poprzednim wzorem w ogólności otrzymujemy:
$log_{(a^b)} c^d = {d}/{b} log_{a} c$

(Łatwo zapamiętać: górny wykładnik wchodzi na górę ułamka, dolny - na dół).

Przykłady:

${log_{2} }^4 3^3 = 3/4 log_{2} 3$
$log_{8} 32 = {log_{2} }^3 2^5 = 5/3 log_{2} 2 = 5/3$


Drugi nowy wzór jest nieco bardziej skomplikowany i służy do zamiany podstawy logarytmu. Możemy użyć go do zamiany niewygodnej dla nas podstawy na taką, którą łatwiej operować: w szczególnośi możemy na przykład zamienić każdy logarym na logarytm dziesiętny lub naturalny. Wygląda on tak:

$log_{a} b = { log_{c} b} / {log_{c} a}$

Jego dowód:
$log_{a} b = {log_{c} b}/{ log_{c} a}$
$log_{a} b ×log_{c} a= log_{c} b$

Korzystamy ze wzoru na włączenie potęgi:

$log_{c} a^{log_{a} b} = log_{c} b$

Oczywiście $a^{log_{a} b}$ jest równe b - podnosimy a do tej potęgi, do jakiej należy podnieść a, żeby otrzymać b) i w efekcie dostajemy:

$log_{c} b = log_{c} b$

Czyli wzór rzeczywiście działa.

Widać z niego, że dowolne dwa logarytmy o ustalonych podstawach: na przykład $log_{2} x$ i $log_{100} x$ różnią się jedynie o pomnożenie przez stałą ${1}/{log_{2} 1000}$.


Ćwiczenie 1. Uprość wyrażenie:

a) $log_{2} 3^10$

Wyłączamy po prostu przed logarytm wykładnik otrzymując $10 log_{2} 3$

b) $log_{2^9} 4^9$

Zamieniając $4$ na $2^2$ dostajemy:
$log_{2^9} (2^2)^9 = log_{2^9} (2^9)^2$, czyli tak naprawdę $log_a a^2$ - co z definicji jest równe $2$ (do jakiej potęgi należy podnieść $a$, aby otrzymać $a^2$?).

c) $log_{5} 1000$

Rozkładając $1000$ na czynniki pierwsze dostajemy:
$log_{5} 1000 = log_{5} 5^3×2^3$

Teraz możemy podzielić logarytm na dwie części zamieniając mnożenie na dodawanie:

$log_{5} 5^3×2^3 = log_{5} 5^3 + log_{5} 2^3 = 3 + 3log_{5} 2$.



Ćwiczenie 2. Zamień podstawę logarytmu $log_{5} 3600$ na 10 i uprość.
 

Tak jak w poprzednim zadaniu rozkładamy $3600$ na czynniki - tyle, że tym razem interesuje nas ilość 10 mieszczących się w argumencie.

$log_{5} 3600 = log_{5} 10^2 × 2^2×3^2$

Teraz możemy zamieniać podstawy logarytmu:

$log_5 3600 = {log_10 3600}/{log_10 5} = {log_10 10^2 × 2^2×3^2}/{log_10 5} = {2(2log_10 2 + log_10 3 + log_10 5)}/{log_10 5} =$
$= 2 + {4log_10 2}/{log_10 5} + {2log_10 3}/{log_10 5}$

Równania okręgu i koła
Mając opanowaną teorię prostych możemy przejść do równan opisujących bardziej złożone obiekty - okręgi. Jak wiadomo okrąg nie jest niczym innym, jak tylko wszystkimi punktami oddalonymi od środka dokladnie o długość promienia. Jeżeli środek okręgu leżałby w punkcie $(0,0)$, to jego równanie przybrałoby po prostu postać $x^2 + y^2 = r^2$ (z twierdzenia Pitagorasa).

1

Dodając do równania współczynniki $a$ i $b$ i zapisując je w postaci $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ otrzymujemy równanie dowolnego okręgu - jego środek leży w punkcie $(a, b)$. (Dlaczego tak jest? Odejmując od współrzędnych te współczynniki przesuwamy cały obiekt w poziomie $a$ i pionie $b$. Można to zrozumieć przypominając sobie, w jaki sposób przesuwało się funkcję kwadratową).

Przykład: okrąg $O_1$ o promieniu $r = 5$ i środku w punkcie $(2,3)$ opisuje równanie $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Możemy też zadać pytanie: czy dany punkt należy do okręgu? Odpowiedź weryfikuje się podstawiając po prostu współrzędne rozważanego punktu do równania.

Jeżeli chcielibyśmy sprawdzić, czy do okręgu $O_1$ należy punkt $(-2, 0)$, sprawdzilibyśmy, czy równanie $(-2-2)^2 + (0-3)^2 = 25$ jest prawdziwe. Obliczając:

$ 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ przekonujemy się, że ten punkt rzeczywiście należy do okręgu.
 
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom