a) W trójkącie ABC kąty mają miary  ${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ .

Trójkąt ADB:

Obliczamy, ile wynosi miara trzeciego kąta tego trójkąta.

$\left|\angle DAB\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$  

Miary kątów trójkąta ADB wynoszą ${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ .    

Trójkąty ABC i ADB są więc podobne, gdyż ich kąty mają równe miary. 

$\Delta ABC\sim \Delta ADB$  

Trójkąt ADI:

Obliczamy, ile wynosi miara kąta IAD.

$\left|\angle IAD\right|=\left|\angle IAB\right|-\left|\angle DAB\right|={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$  

Obliczamy, ile wynosi miara trzeciego kąta tego trójkąta.

$\left|\angle ADI\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$  

Miary kątów trójkąta ADI wynoszą ${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ .

Trójkąty ABC i ADI są więc podobne, gdyż ich kąty mają równe miary.

$\Delta ABC\sim \Delta ADI$       

Trójkąty DEI, IHE, EFH, HGF: 

Analogicznie możemy obliczyć, że miary kątów trójkątów DEI, IHE, EFH i HGF wynoszą  ${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ .

Trójkąty są więc podobne do trójkąta ABC, gdyż ich kąty mają równe miary.

$\Delta ABC\sim \Delta DEI$  

$\Delta ABC\sim \Delta IHE$  

$\Delta ABC\sim \Delta EFH$  

$\Delta ABC\sim \Delta HGF$  

Trójkąt FGC: 

Obliczamy, ile wynosi miara trzeciego kąta trójkąta FGC.

$\left|\angle CFG\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$  

Miary kątów trójkąta FGC wynoszą  ${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ .

Trójkąty ABC i FGC są podobne, gdyż ich kąty mają równe miary.

$\Delta ABC\sim \Delta FGC$            

 

b)  Zauważmy, że każdy z siedmiu trójkątów jest trójkątem o kątach  ${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$ .

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach ${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$  wyznaczamy długości boków poszczególnych trójkątów. 

Trójkąt GFC:

$\left|CF\right|=2x$  

$\left|GF\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|CF\right|=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$  

$\left|CG\right|=\left|GF\right|\cdot \sqrt{3}=x\sqrt{3}$  

Trójkąt GHF:

$\left|GF\right|=\left|GH\right|\cdot \sqrt{3}$      

$x=\left|GH\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|GH\right|=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{x\sqrt{3}}{3}$  

$\left|HF\right|=2\cdot \left|GH\right|=2\cdot \frac{x\sqrt{3}}{3}=\frac{2x\sqrt{3}}{3}$  

Trójkąt FEH:

$\left|HF\right|=\left|FE\right|\cdot \sqrt{3}$  

$\frac{2\sqrt{3}x}{3}=\left|FE\right|\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|FE\right|=\frac{2\sout{\sqrt{3}}x}{3}\cdot \frac{1}{\sout{\sqrt{3}}}=\frac{2x}{3}$  

$\left|HE\right|=2\cdot \left|FE\right|=2\cdot \frac{2x}{3}=\frac{4x}{3}$  

Trójkąt HIE:

$\left|HE\right|=\left|HI\right|\cdot \sqrt{3}$              

$\frac{4x}{3}=\left|HI\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|HI\right|=\frac{4x}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4x}{3\sqrt{3}}=\frac{4x}{3\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}x}{9}$  

$\left|IE\right|=2\cdot \left|HI\right|=2\cdot \frac{4\sqrt{3}x}{9}=\frac{8\sqrt{3}x}{9}$  

Trójkąt EDI:

$\left|IE\right|=\left|ED\right|\cdot \sqrt{3}$  

$\frac{8\sqrt{3}x}{9}=\left|ED\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|ED\right|=\frac{8\sout{\sqrt{3}}x}{9}\cdot \frac{1}{\sout{\sqrt{3}}}=\frac{8x}{9}$       

$\left|DI\right|=2\cdot \left|ED\right|=2\cdot \frac{8x}{9}=\frac{16x}{9}$  

Trójkąt IAD:

$\left|DI\right|=\left|IA\right|\cdot \sqrt{3}$       

$\frac{16x}{9}=\left|IA\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|IA\right|=\frac{16x}{9}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{16x}{9\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}x}{27}$  

$\left|AD\right|=2\cdot \left|IA\right|=2\cdot \frac{16\sqrt{3}x}{27}=\frac{32\sqrt{3}x}{27}$  

Trójkąt DBA:

 

$\left|AD\right|=\left|DB\right|\cdot \sqrt{3}$  

$\frac{32\sqrt{3}x}{27}=\left|DB\right|\cdot \sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\left|DB\right|=\frac{32\sout{\sqrt{3}}x}{27}\cdot \frac{1}{\sout{\sqrt{3}}}=\frac{32x}{27}$  

Obliczamy, ile wynosi długość boku AC trójkąta ABC.

$\left|AC\right|=x\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}x}{9}+\frac{16\sqrt{3}x}{27}=\frac{27\sqrt{3}x}{27}+\frac{9\sqrt{3}x}{27}+\frac{12\sqrt{3}x}{27}+\frac{16\sqrt{3}x}{27}=\frac{64\sqrt{3}x}{27}$  

Trójkąty ABC i GFC są podobne.

Skala podobieństwa trójkąta GFC do trójkąta ABC wynosi:

$k=\frac{\left|GC\right|}{\left|AC\right|}$  

$k=\frac{x\sqrt{3}}{\frac{64\sqrt{3}x}{27}}=\sout{x\sqrt{3}}\cdot \frac{27}{64\sout{\sqrt{3}x}}=\frac{27}{64}$  

Skala podobieństwa trójkąta GFC do trójkąta ABC wynosi $\frac{27}{64}$ .