a) Rysunek pomocniczy:

 

Trapez I:

Korzystając z faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi  ${180}^{\circ }$ , wyznaczamy miarę kąta  $x$  :

$x+{90}^{\circ }+{70}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$x+{160}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$x={20}^{\circ }$  

Trapez jest równoramienny, więc kąty przy jednej podstawie mają równą miarę, stąd:

$\alpha +x={70}^{\circ }$      

$\alpha +{20}^{\circ }={70}^{\circ }$  

$\alpha =\underline{\underline{{50}^{\circ }}}$   

  

Trapez II:

Trójkąt o bokach długości 5 jest trójkątem równoramiennym, więc kąty przy podstawie mają równą miarę, czyli:

$x={40}^{\circ }$  

Wyznaczamy miarę kąta $y$  (w trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi  ${180}^{\circ }$ ):

$y={180}^{\circ }-2\cdot {40}^{\circ }={180}^{\circ }-{80}^{\circ }={100}^{\circ }$  

Kąt $w$  oraz  ${40}^{\circ }$  leżą przy jednym ramieniu trapezu, więc suma ich miar jest równa  ${180}^{\circ }$ , stąd:

$w+{40}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$w={140}^{\circ }$  

Zauważmy, że:

$\beta =w-y$  

$\beta ={140}^{\circ }-{100}^{\circ }=\underline{\underline{{40}^{\circ }}}$   

 

Trapez III:

Trójkąt o dwóch bokach długości 7 jest trójkątem równoramiennym. Miary kątów przy jego podstawie są więc równe. Stąd:

$x=\left({180}^{\circ }-{90}^{\circ }\right):2={90}^{\circ }:2={45}^{\circ }$  

W trapezie suma miar kątów znajdujących się przy jednym ramieniu jest równa ${180}^{\circ }$  , więc:

${50}^{\circ }+y+x={180}^{\circ }$  

${50}^{\circ }+y+{45}^{\circ }={180}^{\circ }$  

${95}^{\circ }+y={180}^{\circ }$  

$y={85}^{\circ }$  

Korzystając z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych w trójkącie wyznaczamy miarę kąta $\gamma$  :

$\gamma +y+{50}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\gamma +{85}^{\circ }+{50}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\gamma +{135}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\gamma =\underline{\underline{{45}^{\circ }}}$              

---

---

b) Rysunek pomocniczy:

Trapez I:

Zauważmy, że:

$x+{25}^{\circ }={90}^{\circ }$  

$x={65}^{\circ }$  

Korzystając z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych w trójkącie wyznaczamy miarę kąta $\alpha$  :

$\alpha +x+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +{65}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha +{155}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\alpha =\underline{\underline{{25}^{\circ }}}$  

 

Trapez II: 

Czworokąt o przeciwległych bokach długości 5 jest równoległobokiem.

Suma miar kątów znajdujących się przy jednym boku równoległoboku wynosi  ${180}^{\circ }$ , stąd:

$x+{55}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$x={125}^{\circ }$  

Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu także wynosi ${180}^{\circ }$ . Otrzymujemy więc:

${33}^{\circ }+\beta +x={180}^{\circ }$  

${33}^{\circ }+\beta +{125}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\beta +{158}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\beta =\underline{\underline{{22}^{\circ }}}$  

 

Trapez III:

Czworokąt na rysunku jest równoległobokiem.

Zaznaczone kąty są kątami naprzemianległymi. Dodatkowo oba trójkąty są trójkątami równoramiennymi.

Suma miar kątów przy jednym boku równoległoboku wynosi  ${180}^{\circ }$  , stąd:

$2x+2y={180}^{\circ }\mid :2$  

$x+y={90}^{\circ }$  

W trójkącie, w którym jeden z kątów ma miarę $\gamma$  pozostałe dwa kąty mają miary  $x$  i  $y$  .

Suma miary kątów $x$  i  $y$  jest równa  ${90}^{\circ }$  , więc korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie 

wynosi ${180}^{\circ }$  otrzymujemy:

$\gamma ={180}^{\circ }-\left(x+y\right)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }=\underline{\underline{{90}^{\circ }}}$