$a)$  

$\left|AB\right|=6$  

$\left|SW\right|=3$  

$\left|AM\right|=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$   - wysokość podstawy, czyli trójkąta równobocznego o boku 6

$\left|AW\right|=\frac{2}{3}\cdot \left|AM\right|=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$  

$\left|WM\right|=\frac{1}{3}\cdot \left|AM\right|=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt{3}$  

 

Długość odcinka SM obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta SWM:

${\left|SW\right|}^2+{\left|WM\right|}^2={\left|SM\right|}^2$  

$3^2+{\sqrt{3}}^2={\left|SM\right|}^2$  

$9+3={\left|SM\right|}^2$  

$\left|SM\right|=\sqrt{12}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$  

 

 

Długość odcinka SA obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AWS

${\left|AW\right|}^2+{\left|WS\right|}^2={\left|SA\right|}^2$  

${\left(2\sqrt{3}\right)}^2+3^2={\left|SA\right|}^2$  

$12+9={\left|SA\right|}^2$  

$\left|SA\right|=\sqrt{21}$  

 

 

$b)$  

$\left|KL\right|=a$  

$\left|SM\right|=a$  

$\left|KP\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$   - wysokość trójkąta równobocznego o boku a

$\left|KO\right|=\frac{2}{3}\cdot \left|KP\right|=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=$   $\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

$\left|OP\right|=\frac{1}{3}\cdot \left|KP\right|=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

$\left|SP\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Długość odcinka SO obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta SOP

${\left|SO\right|}^2+{\left|OP\right|}^2={\left|SP\right|}^2$  

${\left|SO\right|}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$  

${\left|SO\right|}^2+\frac{a^2\cdot 3}{36}=\frac{a^2\cdot 3}{4}$  

${\left|SO\right|}^2+\frac{a^2}{12}=\frac{3a^2}{4}\mid -\frac{a^2}{12}$  

${\left|SO\right|}^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{12}=\frac{9a^2}{12}-\frac{a^2}{12}=\frac{8a^2}{12}=\frac{2a^2}{3}$   

$\left|SO\right|=\sqrt{2\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot a=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}\cdot a=\frac{\sqrt{6}}{3}a$