Przyjmując, że długość boku trójkąta równobocznego wynosi "a" możemy zapisać następujące fakty:

- długość wysokości trójkąta równobocznego:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$   

- długość promienia okręgu wpisanego:

$r=\frac{1}{3}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$   

- długość promienia okręgu opisanego:

$R=\frac{2}{3}\cdot h=\frac{{\sout{2}}^1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$   

 

Wynikają z tego następujące zależności:

$R=2r,\text{gdyz˙}2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$   

$h=r+R,\text{gdyz˙}\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{2a\sqrt{3}}{6}=\frac{3a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$   

 

Uzupełniamy tabelkę:

a	6	2√3	6√3	12	10√3	4√6	8√3	6√2
h	3√3	3	9	6√3	15	6√2	12	3√6
r	√3	1	3	2√3	5	2√2	4	√6
R	2√3	2	6	4√3	10	4√2	8	2√6

 

Kolumna II:

$a=6$  

$h=\frac{{\sout{6}}^3\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=3\sqrt{3}$  

$r=\frac{{\sout{6}}^1\sqrt{3}}{{\sout{6}}^1}=\sqrt{3}$  

$R=2r=2\sqrt{3}$  

 

Kolumna III:

$a=2\sqrt{3}$  

$h=\frac{{\sout{2}}^1\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=3$  

$r=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{6}{6}=1$  

$R=2\cdot 1=2$    

 

Kolumna IV:

$h=9$  

$9=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$18=a\sqrt{3}$  

$a=6\sqrt{3}$  

$r=\frac{{\sout{6}}^1\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{{\sout{6}}^1}=3$  

$R=2r=2\cdot 3=6$  

 

Kolumna V:

$h=6\sqrt{3}$  

$6\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$12\sqrt{3}=a\sqrt{3}$  

$a=12$  

$r=\frac{{\sout{12}}^2\sqrt{3}}{{\sout{6}}^1}=2\sqrt{3}$  

$R=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$        

 

Kolumna VI:

$r=5$  

$R=2r=2\cdot 5=10$  

$h=r+R=5+10=15$  

$15=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$30=a\sqrt{3}$  

$a=10\sqrt{3}$  

 

Kolumna VII:

$r=2\sqrt{2}$  

$R=2r=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$  

$h=r+R=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}$  

$6\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$12\sqrt{2}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}$  

 

Kolumna VIII:

$R=8$  

$r=\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}\cdot 8=4$  

$h=r+R=4+8=12$  

$12=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$24=a\sqrt{3}$  

$a=8\sqrt{3}$        

 

Kolumna IX:

$R=2\sqrt{6}$  

$r=\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}=\sqrt{6}$  

$h=r+R=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}$  

$3\sqrt{6}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$6\sqrt{6}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=6\sqrt{2}$