$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

 

$H=3$  

$r=6$  

Obliczamy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $SBC:$  

$H^2+r^2=l^2$  

$3^2+6^2=l^2$   

$9+36=l^2$  

$45=l^2$  

$l=3\sqrt{5}$  

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 6^2=36\pi$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 6\cdot 3\sqrt{5}=18\sqrt{5}\pi$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=36\pi +18\sqrt{5}\pi =18\pi \left(2+\sqrt{5}\right)$  

Obliczamy objętość stożka:               

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 36\pi \cdot 3=36\pi$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej wynosi  $18\pi \left(2+\sqrt{5}\right),$ a objętość jest równa  $36\pi .$    

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

 

$Ob=12$  

Wyznaczamy długość tworzącej stożka (boku trójkąta równobocznego):

$3l=12\text{/}:3$  

$l=4$  

Zatem 

$r=2$     

Obliczamy długość wysokości stożka (jest to wysokość trójkąta równobocznego):

$H=\frac{l\sqrt{3}}{2}$   

$H=2\sqrt{3}$   

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot 2^2=4\pi$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot 2\cdot 4=8\pi$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=4\pi +8\pi =12\pi$  

Obliczamy objętość stożka:               

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 4\pi \cdot 2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej wynosi  $12\pi ,$ a objętość jest równa  $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi .$     

 

$\text{c)}$  Rysunek pomocniczy:

 

$l=5$   

Zauważmy, że odcinek  $AB$  ma długość przekątnej kwadratu o boku  $l,$  zatem:

$r=H=\frac{l\sqrt{2}}{2}$  

$r=H=\frac{5\sqrt{2}}{2}$  

Obliczamy pole podstawy stożka:

$P_p=\pi r^2$  

$P_p=\pi \cdot {\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}\pi$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

$P_b=\pi rl$  

$P_b=\pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot 5=\frac{25\sqrt{2}}{2}\pi$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=\frac{25}{2}\pi +\frac{25\sqrt{2}}{2}\pi =\frac{25}{2}\pi \left(1+\sqrt{2}\right)$  

Obliczamy objętość stożka:               

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{25}{2}\pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{125\sqrt{2}}{12}\pi$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej wynosi  $\frac{25}{2}\pi \left(1+\sqrt{2}\right),$ a objętość jest równa  $\frac{125\sqrt{2}}{12}\pi .$