Rozpatrzmy przypadek, gdy na trójkącie równobocznym opisano okrąg.

Promień takiego okręgu (R) jest równy ²/₃ h, gdzie h - wysokość trójkąta równobocznego.

$\frac{2}{3}h=R$   

Z zadania wiemy, że promień okręgu opisanego (R) wynosi 2, czyli:

$\frac{2}{3}h=2$  

Znamy wzór na wysokość w trójkącie równobocznym:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

gdzie a - długość boku trójkąta równobocznego

 

Podstawiamy wzór na wysokość do wcześniejszego równania i obliczamy a:

$\frac{{\sout{2}}^1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=2\mid \cdot 3$  

$a\sqrt{3}=6\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{{\sout{6}}^2\cdot \sqrt{3}}{{\sout{3}}^1}=2\sqrt{3}$    

Obliczamy pole trójkąta równobocznego o boku długości a:

$P_t=\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{{\sout{12}}^3\cdot \sqrt{3}}{{\sout{4}}^1}=3\sqrt{3}\left[j^2\right]$   

 

Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy w taki sam trójkąt równoboczny wpisano kolo.

Z poprzedniej części zadania znamy długość boku a trójkąta równobocznego.

Promień koła wpisanego (r) w trójkąt równoboczny jest równy ¹/₃h - wysokości  tego tego trójkąta, czyli:

$r=\frac{1}{3}h$  

Podstawiamy wzór na wysokość w trójkącie równobocznym i otrzymujemy:

$r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

Znamy długość boku a, więc podstawiamy ją do powyższego wzoru:

$r=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{6}{6}=1$  

 Obliczamy pole koła o pormieniu równym 1:

$P_k=\pi r^2=\pi \cdot 1^2=\pi \left[j^2\right]$   

 

Zauważmy, że pole trójkąta jest większe od pola koła:

$3\sqrt{3}>\pi$  

Obliczamy, ile razy większe jest pole trójkąta od pola koła:

$\frac{P_t}{P_k}=\frac{3\sqrt{3}}{\pi }$  

 

Odp: Pole trójkąta jest ^3√3/_π razy większe od pola koła.