$a)\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=1\\ f\left(3\right)=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b=1\\ 3a+b=5\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$  

$-2a=-4$  

$a=2$  

czyli

$2+b=1$  

$b=-1$  

a więc:

$AB:y=2x-1$  

 

b) Wyznaczmy środek boku AC:

$S=S_{\text{AC}}=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)=\left(\frac{1+\left(-1\right)}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(0,2\right)$   

Prosta równoległa do prostej AB ma taki sam współczynnik kierunkowy jak ona:

$y=2x+c$  

Podstawmy współrzędne punktu S:

$2=2\cdot 0+c$  

$c=2$  

Równanie szukanej prostej to:

$y=2x+2$  

 

c) Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt C:

$y=dx+e$  

Skoro proste mają być prostopadłe względem siebie to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy - 1:

$d\cdot 2=-1$  

$d=-\frac{1}{2}$  

Wstawmy współrzędne punktu C:

$3=-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+e$  

$3=\frac{1}{2}+e$  

$e=\frac{5}{2}$  

Równanie szukanej prostej to:

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$  

 

d) Wyznaczmy środek odcinka AB:

$\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+5}{2}\right)=\left(2,3\right)$   

Przypomnijmy, że prosta AB jest dana równaniem:

$AB:y=2x-1$  

 

Wyznaczmy prostą prostopadłą do tej prostej przechodzącą przez środek odcinka AB:

$y=px+q$  

$p\cdot 2=-1$  

$p=-\frac{1}{2}$  

 

Wstawmy współrzędne środka odcinka AB:

$3=-\frac{1}{2}\cdot 2+q$  

$3=-1+q$  

$q=4$  

 

Równanie szukanej prostej to:

$y=-\frac{1}{2}x+4$