$Z:$

 

$T:\left|AP\right|+\left|PC\right|\le \left|AB\right|+\left|BC\right|$  

 

$\text{Dowoˊd}:$

Z nierówności trójkąta dla trójkąta ABC możemy zapisać:

`|AC|

 

Zauważmy, że:

$\left|AB\right|=\left|AP\right|+\left|PB\right|\left(\ast \right)$

 

Teraz przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa, jeśli dojdziemy przez to do sprzeczności, to będzie oznaczało, że zakończyliśmy dowód i ze nierówność z tezy zachodzi (ponieważ przyjęcie tezy przeciwnej zaprowadzi do sprzeczności)

Zatem przypuśćmy, że:

$\left|AP\right|+\left|PC\right|>\left|AB\right|+\left|BC\right|$

 

Teraz wykorzystamy gwiazdkę (w miejsce |AB| wstawiamy |AP|+|PB|):

$\left|AP\right|+\left|PC\right|>\left|AP\right|+\left|PB\right|+\left|BC\right|\left|-\right|AP\mid$

$\left|PC\right|>\left|PB\right|+\left|BC\right|$

Ten warunek jest sprzeczny z nierównością trójkąta - w trójkącie PBC długość boku PC musi być mniejsza niż suma długości boków PB i BC.

Doszliśmy do sprzeczności, więc teza jest prawdziwa.