a)

$\cos x-\cos 2x<1$  

$\cos x-\left(2{\cos }^{2}x-1\right)<1$  

$\cos x-{\cos }^{2}x+1<1\mid -1$  

$-{\cos }^{2}x+\cos x<0$  

Wykonajmy podstawienie  $t=\cos x,t\in <-1,1>$  

 

$-t^2+t<0$  

$-t\left(t-1\right)<0$  

$t\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy  $t\in <-1,0)$  

 

$\cos x\in <-1,0)$  

$x\in \left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3}{2}\pi +2k\pi \right),k\in \text{C}$  

---

b)

${\sin }^{3}x+\sin x<0$  

$\sin x\left({\sin }^{2}x+1\right)<0$  

Wykonajmy podstawienie  $t=\sin x,t\in <-1,1>$  

 

$t\left(t^2+1\right)<0$  

$t\in \left(-\infty ,0\right)$  

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy  $t\in <-1,0)$  

 

$\sin x\in <-1,0)$  

$x\in \left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right),k\in \text{C}$  

---

c)

$\left|\sin x\right|\le \frac{1}{2}$  

Narysujmy wykres funkcji  $\left|\sin x\right|$  

$x\in <-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+k\pi >,k\in \text{C}$