a)

$y=\frac{\left|\cos x\right|}{\cos x}$

$y=\{\begin{array}{l}\frac{\cos x}{\cos x}\text{gdy}\cos x\ge 0\\ \frac{-\cos x}{\cos x}\text{gdy}\cos x<0\end{array}$  

$y=\{\begin{array}{l}1\text{gdy}\cos x\ge 0\\ -1\text{gdy}\cos x<0\end{array}$  

dostajemy, że

$ZW=\left\{-1,1\right\}$  

Funkcja, którą otrzymaliśmy jest stała przedziałami. Żeby określić w jakich przedziałach przyjmuje wartość 1 a w jakich -1, musimy sprawdzić dla jakich argumentów funkcja

$\cos x$  

przyjmuje wartości dodatnie lub równe zero, a dla jakich wartości ujemne.

Zauważmy, że cosinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π, wystarczy, że rozważymy dowolny przedział długości 2π, np. 

$⟨-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$   

W tym przedziale 

$\cos x\ge 0$

dla

$x\in ⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$   

natomiast

$\cos x<0$

dla

$x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$

czyli rozważając przedział

$⟨-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$   

dostajemy, że funkcja 

$y=\{\begin{array}{l}1\text{gdy}\cos x\ge 0\\ -1\text{gdy}\cos x<0\end{array}$  

będzie stale równa "1" na przedziale

$x\in ⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$   

zauważmy, że jest to przedział o długości:

$\pi$   

i stale równa "-1" na przedziale

$x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$

zauważmy, że jest to przedział o długości:  

$\pi$  

ponieważ jest to funkcja okresowa, dostajemy, że na każdym przedziale postaci

$x\in \left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$  

jest to funkcja stała. 

---

b) 

$y=-\cos x$