$\text{a)}\{\begin{array}{l}{a}_1+a_3=0\\ a_2+a_4=-8\end{array}$  

Zauważmy, że poszczególne wyrazy możemy rozpisać korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_3=a_1+2r$  

$a_2=a_1+r$  

$a_4=a_1+3r$  

Podstawiamy dane wzoru do układu równań:

$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_1+2r=0\\ a_1+r+a_1+3r=-8\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}2a_1+2r=0\mid \cdot \left(-1\right)\\ 2a_1+4r=-8\end{array}$  

$+\{\begin{array}{l}-2a_1-2r=0\\ \underline{2a_1+4r=-8}\end{array}$  

$2r=-8\mid :2$  

$r=-4$  

$\{\begin{array}{l}r=-4\\ 2a_1+2\cdot \left(-4\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=-4\\ 2a_1-8=0\mid +8\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}r=-4\\ 2a_1=8\mid :2\end{array}$ $\{\begin{array}{l}r=-4\\ 2a_1=8\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=-4\\ a_1=4\end{array}$  

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego spełniającego zadane warunki to:

$a_n=4+\left(n-1\right)\cdot \left(-4\right)=4-4n+4=-4n+8$  

$a_n=-4n+8$  

 

Obliczamy, który wyraz ciągu jest równy 0.

$-4n+8=0\mid -8$   

$-4n=-8\mid :\left(-4\right)$      

$n=2$  

Drugi wyraz ciągu jest równy 0.

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}\{\begin{array}{l}{a}_1+a_4=12\\ a_2+a_4+a_6=27\end{array}$   

Zauważmy, że poszczególne wyrazy możemy rozpisać korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_4=a_1+3r$  

$a_2=a_1+r$  

$a_6=a_1+5r$   

Podstawiamy dane wzoru do układu równań:

$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_1+3r=12\\ a_1+r+a_1+3r+a_1+5r=27\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}2a_1+3r=12\mid \cdot \left(-3\right)\\ 3a_1+9r=27\end{array}$    

$+\{\begin{array}{l}-6a_1-9r=-36\\ \underline{3a_1+9r=27}\end{array}$   

$-3a_1=-9\mid :\left(-3\right)$   

$a_1=3$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ 2\cdot 3+3r=12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ 6+3r=12\mid -6\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ 3r=6\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\\ r=2\end{array}$   

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego spełniającego zadane warunki to:

$a_n=3+\left(n-1\right)\cdot 2=3+2n-2=2n+1$   

$a_n=2n+1$   

 

Obliczamy, który wyraz ciągu jest równy 0.

$2n+1=0\mid -1$    

$2n=-1\mid :2$       

$n=-\frac{1}{2}\text{sprzeczne, gdyz˙}n\in {\mathbb{N}}_{+}$     

Nie istnieje wyraz ciągu, który byłby równy 0.

$\underline{\underline{}}$  

$\text{c)}\{\begin{array}{l}{a}_1\cdot a_2=5\\ a_1+a_3=-4\end{array}$  

Zauważmy, że poszczególne wyrazy możemy rozpisać korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_2=a_1+r$  

$a_3=a_1+2r$  

Podstawiamy dane wzoru do układu równań:

$\{\begin{array}{l}{a}_1\cdot \left(a_1+r\right)=5\\ a_1+a_1+2r=-4\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}{\left(a_1\right)}^2+a_{1}r=5\\ 2a_1+2r=-4\mid -2a_1\end{array}$     

$\{\begin{array}{l}{\left(a_1\right)}^2+a_{1}r=5\\ 2r=-4-2a_1\mid :2\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}{\left(a_1\right)}^2+a_{1}r=5\\ r=-2-a_1\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(a_1\right)}^2+a_1\left(-2-a_1\right)=5\\ r=-2-a_1\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}{\left(a_1\right)}^2-2a_1-{\left(a_1\right)}^2=5\\ r=-2-a_1\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}-2a_1=5\mid :2\\ r=-2-a_1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-2\frac{1}{2}\\ r=-2-\left(-2\frac{1}{2}\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-2\frac{1}{2}\\ r=-2+2\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-2\frac{1}{2}\\ r=\frac{1}{2}\end{array}$  

 

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego spełniającego zadane warunki to:

$a_n=-2\frac{1}{2}+\left(n-1\right)\cdot \frac{1}{2}=-2\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n-3$   

$a_n=\frac{1}{2}n-3$   

 

Obliczamy, który wyraz ciągu jest równy 0.

$\frac{1}{2}n-3=0\mid +3$    

$\frac{1}{2}n=3\mid \cdot 2$  

$n=6$       

Szósty wyraz ciągu równy 0.