Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez 0, dlatego musimy założyć, że mianowniki podanych ułamków nie przyjmują wartości 0. 

 

 

$a)$  

$\text{załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-1\ne 0\mid +1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\end{array}$  

$\underline{x\ne 0,x\ne 1}$  

 

 

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{4}{x}+\frac{3-3x}{x+1}=0\mid \cdot x\left(x-1\right)$   

$4\left(x-1\right)+\left(3-3x\right)x=0$  

$4x-4+3x-3x^2=0$  

$-3x^2+7x-4=0$  

$\Delta =7^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-4\right)=49-48$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$x_1=\frac{-7-1}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-8}{-6}=\frac{4}{3}$  

$x_2=\frac{-7+1}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-6}{-6}=1$  

Oba rozwiązania spełniają założenia. 

 

 

$b)$  

$\text{załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-2\ne 0\mid +2\end{array}$ $\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-2\ne 0\mid +2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -2\end{array}$  

$\underline{x\ne -2,x\ne 0}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{2}{x}+\frac{4}{x}=\frac{3x}{x-2}$  

$\frac{6}{x}=\frac{3x}{x-2}\mid \cdot x\left(x-2\right)$  

$6\left(x-2\right)=3x\cdot x$  

$6x-12=3x^2\mid -3x^2$  

$-3x^2+6x-12=0\mid :\left(-3\right)$  

$x^2-2x+4=0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16<0$  

Delta jest ujemna, więc równanie nie ma rozwiązania. 

 

 

 

$c)$  

$\text{załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x-5\ne 0\mid -5\\ 3x-4\ne 0\mid +4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 5\\ 3x\ne 4\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 5\\ x\ne \frac{4}{3}\end{array}$  

$\underline{x\ne \frac{4}{3},x\ne 5}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{x-9}{x-5}-\frac{3x}{3x-4}=0\mid \cdot \left(x-5\right)\left(3x-4\right)$  

$\left(x-9\right)\left(3x-4\right)-3x\left(x-5\right)=0$  

$3x^2-4x-27x+36-3x^2+15x=0$  

$-16x+36=0\mid -36$  

$-16x=-36\mid :(-160$  

$x=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}$  

Powyższe rozwiązanie spełnia założenia. 

 

 

 

$d)$  

$\text{załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x-3\ne 0\mid +3\\ x+1\ne 0\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 3\\ x\ne -1\end{array}$  

$\underline{x\ne -1,x\ne 3}$  

 

 

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{2x-7}{x-3}-\frac{2x-6}{x+1}=0\mid \cdot \left(x-3\right)\left(x+1\right)$  

$\left(2x-7\right)\left(x+1\right)-\left(2x-6\right)\left(x-3\right)=0$  

$2x^2+2x-7x-7-\left(2x^2-6x-6x+18\right)=0$  

$2x^2-5x-7-2x^2+12x-18=0$  

$7x-25=0\mid +25$  

$7x=25\mid :7$  

$x=\frac{25}{7}$  

Powyższe rozwiązanie spełnia założenia. 

 

 

 

$e)$  

$\text{załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x+2\ne 0\mid -2\\ x-4\ne 0\mid +4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne 4\end{array}$  

$\underline{x\ne -2,x\ne 4}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{x+2}+\frac{x+2}{x-4}=0\mid \cdot \left(x+2\right)\left(x-4\right)$  

$x-4+\left(x+2\right)\left(x+2\right)=0$  

$x-4+x^2+2x+2x+4=0$  

$x^2+5x=0$  

$x\left(x+5\right)=0$  

$x=0\text{lub}x=-5$   

Powyższe rozwiązania spełniają założenia. 

 

 

 

$f)$  

$\text{załoz˙enia:}$  

$\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\mid +1\\ x+1\ne 0\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}$  

$\underline{x\ne -1,x\ne 1}$  

 

 

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=0\mid \cdot \left(x-1\right)\left(x+1\right)$  

$x+1-\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0$  

$x+1-\left(x^2-x-x+1\right)=0$  

$x+1-x^2+2x-1=0$  

$-x^2+3x=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x^2-3x=0$  

$x\left(x-3\right)=0$  

$x=0\text{lub}x=3$  

Oba otrzymane rozwiązania spełniają założenia.