a) Ze środka okręgu opisanego na pięciokącie foremnym poprowadzone są promienie do wierzchołków pięciokąta.

Promienie podzieliły pięciokąt froemny na 5 przystających trójkątów równoramiennych.

Tym samym podzieliły kąt pełny na pięć równy części. 

Kąt  $\alpha$  stanowi jedną z tych części, czyli:

$\alpha ={360}^{\circ }:5={72}^{\circ }$  

Trójkąty są równoramienne, więc przy ich podstawie znajdują się kąty o równych miarach, czyli:

$\beta =\left({180}^{\circ }-{72}^{\circ }\right):2={108}^{\circ }:2={54}^{\circ }$ $\beta =\left({180}^{\circ }-{72}^{\circ }\right):2={108}^{\circ }:2={54}^{\circ }$  

 

b) Wiemy, że okrąg, w który wpisany jest pięciokąt ma długość równą 4π.

Wyznaczamy promień okręgu:

$2\pi r=4\pi \mid :2\pi$  

$r=2$  

 

Korzystając z podpunktu a), wiemy, że prowadząc prominie ze środka okręgu do wierzchołków pięciokąta otrzymujemy 5 trójkątów równoramiennych.

kąt pomiędzy ramionami wynosi 72^o, a ramiona mają długość taką samą, jak długość promienia okręgu.

przypomnijmy jedne ze wzorów na pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \alpha$  

gdzie a, b - długości bokó trójkąta,  $\alpha$  - kąt zawarty pomiędzy bokami a i b.

Korzystając z powyższego wzoru obliczymy pole jednego z przystających trójkątów, a następnie mnożąc otrzymane pole przez 5 wyznaczymy pole pięciokąta.

$P_{\Delta }=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\cdot 2\cdot \sin {72}^{\circ }=2\sin {72}^{\circ }\left[j^2\right]$  

Obliczamy pole pięciokąta fgoremnego:

$P_{\text{pieciokąta}}=5\cdot 2\sin {72}^{\circ }=10\sin {72}^{\circ }$