Rysunek poglądowy:

Pole trójkąta możemy wyrazić za pomocą wzoru:

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin \gamma$  

$8=10\sin \gamma$  

$\sin \gamma =\frac{4}{5}$  

Z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1$   

$\frac{16}{25}+{\cos }^2\gamma =1$  

${\cos }^2\gamma =\frac{9}{25}$  

$\left|\cos \gamma \right|=\frac{3}{5}$  

$\cos \gamma =\frac{3}{5}\vee \cos \gamma =-\frac{3}{5}$  

 

Z twierdzenia cosinusów:

$c^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos \gamma =41-40\cos \gamma$  

$\text{Dla}\cos \gamma =\frac{3}{5}$  

$c^2=41-40\cdot \frac{3}{5}=41-24=17$  

$c_1=\sqrt{17}\left[\text{cm}\right]$  

Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt:

$P=pr$  

$r_1=\frac{P}{p}=\frac{8}{\frac{4+5+\sqrt{17}}{2}}=\frac{16}{9+\sqrt{17}}\cdot \frac{9-\sqrt{17}}{9-\sqrt{17}}=\frac{144-16\sqrt{17}}{81-17}=\frac{144-16\sqrt{17}}{64}=\frac{9-\sqrt{17}}{4}\left[\text{cm}\right]$  

 

$\text{Dla}\cos \gamma =-\frac{3}{5}$  

$c^2=41-40\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=41+24=65$  

$c_2=\sqrt{65}\left[\text{cm}\right]$  

Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt:

$P=pr$  

$r_2=\frac{P}{p}=\frac{8}{\frac{4+5+\sqrt{65}}{2}}=\frac{16}{9+\sqrt{65}}\cdot \frac{9-\sqrt{65}}{9-\sqrt{65}}=\frac{144-16\sqrt{65}}{81-65}=\frac{144-16\sqrt{65}}{16}=\left(9-\sqrt{65}\right)\left[\text{cm}\right]$