Rysunek poglądowy:

Wiemy, że:

$\cos \left(\angle A\right)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$  

$\cos \left(\angle B\right)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$  

$\cos \left(\angle C\right)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$  

 

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ADC:

${\left|CD\right|}^2={\left|AD\right|}^2+{\left|AC\right|}^2-2\cdot \left|AD\right|\cdot \left|AC\right|\cdot \cos \left(\angle A\right)=\frac{1}{4}{c}^2+b^2-2\cdot \frac{1}{2}c\cdot b\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{4}{c}^2+b^2-\frac{b^2+c^2-a^2}{2}=\frac{c^2}{4}+\frac{4b^2}{4}-\frac{2b^2+2c^2-2a^2}{4}=\frac{c^2+4b^2-2b^2-2c^2+2a^2}{4}=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$   

a więc:

$\left|CD\right|=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$  

 

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie BCF: 

${\left|BF\right|}^2={\left|BC\right|}^2+{\left|CF\right|}^2-2\cdot \left|BC\right|\cdot \left|CF\right|\cdot \cos \left(\angle C\right)=a^2+\frac{1}{4}{b}^2-2\cdot a\cdot \frac{1}{2}b\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{2a^2+2b^2-2c^2}{4}=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}$  

A więc:

$\left|BF\right|=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{2}$  

 

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABE:

${\left|AE\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|BE\right|}^2-2\cdot \left|AB\right|\cdot \left|BE\right|\cdot \cos \left(\angle B\right)=c^2+\frac{1}{4}{a}^2-2\cdot c\cdot \frac{1}{2}a\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{4c^2}{4}+\frac{a^2}{4}-\frac{2a^2+2c^2-2b^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$  

A więc:

$\left|AE\right|=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}$