Uzasadnij równość.- Zadanie 3: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) L = \frac{lo g _{2} 50 - lo g _{2} 5}{lo g _{2} 45 - lo g _{2} 9} = \frac{lo g _{2} ( \frac{50}{5} )}{lo g _{2} ( \frac{45}{9} )} = \frac{lo g _{2} 10}{lo g _{2} 5} = lo g_{5} 10 = \frac{lo g 10}{lo g 5} = \frac{1}{lo g 5} = P$

$b) \frac{lo g _{3} 20 - lo g _{9} 25}{lo g _{3} 2 + lo g _{3} 2} = \frac{lo g _{3} 20 - \frac{l o g _{3} 25}{l o g _{3} 9}}{\frac{l o g _{3} 2}{l o g _{3} 3} + lo g _{3} 2} = \frac{lo g _{3} 20 - \frac{1}{2} lo g _{3} 25}{\frac{l o g _{3} 2}{\frac{1}{2}} + lo g _{3} 2} = \frac{lo g _{3} 20 - lo g _{3} 25 ^{\frac{1}{2}}}{2 lo g _{3} 2 + lo g _{3} 2} =$

$\frac{lo g _{3} 20 - lo g _{3} 5}{lo g _{3} 4 + lo g _{3} 2} = \frac{lo g _{3} 4}{lo g _{3} 8} = lo g_{8} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} 8} = \frac{2}{3}$

$c) \frac{lo g _{5} 100 + lo g _{2} 100}{lo g _{5} 100 \cdot lo g _{2} 100}$

Zamieńmy logarytmy w następujący sposób:

$lo g_{5} 100 = \frac{lo g 100}{lo g 5}$

$lo g_{2} 100 = \frac{lo g 100}{lo g 2}$

$= \frac{\frac{l o g 100}{l o g 5} + \frac{l o g 100}{l o g 2}}{\frac{l o g 100}{l o g 5} \cdot \frac{l o g 100}{l o g 2}} = \frac{\frac{2}{l o g 5} + \frac{2}{l o g 2}}{\frac{4}{l o g 5 \cdot l o g 2}} = (\frac{2 lo g 2}{lo g 5 lo g 2} + \frac{2 lo g 5}{lo g 5 lo g 2}) \cdot \frac{lo g 5 \cdot lo g 2}{4} =$

$\frac{lo g 4 + lo g 25}{lo g 5 lo g 2} \cdot \frac{lo g 5 lo g 2}{4} = \frac{lo g ( 4 \cdot 25 )}{4} = \frac{lo g 100}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$d) \frac{lo g _{4} 12 \cdot lo g _{3} 12}{lo g _{4} 12 + lo g _{3} 12}$

Zamieńmy logarytmy:

$lo g_{4} 12 = \frac{lo g 12}{lo g 4}$

$lo g_{3} 12 = \frac{lo g 12}{lo g 3}$

$= \frac{\frac{l o g 12}{l o g 4} \cdot \frac{l o g 12}{l o g 3}}{\frac{l o g 12}{l o g 4} + \frac{l o g 12}{l o g 3}} = \frac{\frac{l o g ^{2} 12}{l o g 3 l o g 4}}{lo g 12 ( \frac{1}{l o g 4} + \frac{1}{l o g 3} )} = \frac{\frac{l o g ^{2} 12}{l o g 3 l o g 4}}{lo g 12 \cdot \frac{l o g 3 + l o g 4}{l o g 3 l o g 4}} = \frac{\frac{l o g ^{2} 12}{l o g 3 l o g 4}}{lo g 12 \cdot \frac{l o g 12}{l o g 3 l o g 4}} = \frac{\frac{l o g ^{2} 12}{l o g 3 l o g 4}}{\frac{l o g ^{2} 12}{l o g 3 l o g 4}} = 1$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

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