$V_{\text{kuli}}=\frac{4}{3}\pi R^3$  

$V_{\text{walca}}=\pi r^{2}h$  

Objętość kopułek nad i pod walcem jest taka sama, oznaczmy jedną taką kopułkę jako  $V_1$  

$V_1=\frac{1}{2}\pi r^2\left(R-\frac{1}{2}h\right)+\frac{1}{6}\pi {\left(R-\frac{1}{2}h\right)}^3$  

 

$V_{\text{piersˊcienia}}=V_{\text{kuli}}-V_{\text{walca}}-2\cdot V_1$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\frac{4}{3}\pi R^3-\pi r^{2}h-2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi r^2\left(R-\frac{1}{2}h\right)+\frac{1}{6}\pi {\left(R-\frac{1}{2}h\right)}^3\right)$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\frac{4}{3}\pi R^3-\pi r^{2}h-\pi r^2\left(R-\frac{1}{2}h\right)-\frac{1}{3}\pi {\left(R-\frac{1}{2}h\right)}^3$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\frac{4}{3}\pi R^3-\pi r^{2}h-\pi r^{2}R+\frac{1}{2}\pi r^{2}h-\frac{1}{3}\pi \left(R^3-3R^2\cdot \frac{1}{2}h+3R\cdot \frac{1}{4}{h}^2-\frac{1}{8}{h}^3\right)$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{1}{2}\pi r^{2}h-\pi r^{2}R-\frac{1}{3}\pi R^3+\frac{1}{2}\pi R^{2}h-\frac{1}{4}\pi R{h}^2+\frac{1}{24}\pi h^3$  

Zauważmy, że  ${\left(\frac{1}{2}h\right)}^2+r^2=R^2$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\pi R^3-\frac{1}{2}\pi r^{2}h-\pi r^{2}R+\frac{1}{2}\pi \left(\frac{1}{4}{h}^2+r^2\right)h-\frac{1}{4}\pi R{h}^2+\frac{1}{24}\pi h^3$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\pi R^3-\frac{1}{2}\pi r^{2}h-\pi r^{2}R+\frac{1}{8}\pi h^3+\frac{1}{2}\pi r^{2}h-\frac{1}{4}\pi R{h}^2+\frac{1}{24}\pi h^3$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\pi R^3-\pi r^{2}R+\frac{3}{24}\pi h^3-\frac{1}{4}\pi R{h}^2+\frac{1}{24}\pi h^3$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\pi R\left(R^2-r^2\right)-\frac{1}{4}\pi R{h}^2+\frac{4}{24}\pi h^3$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\pi R\cdot \frac{1}{4}{h}^2-\frac{1}{4}\pi R{h}^2+\frac{1}{6}\pi h^3$  

$V_{\text{piersˊcienia}}=\frac{1}{6}\pi h^3$  

Wobec tego objętość pierścienia zależy jedynie od wysokości walca.

 

Obliczmy objętość kuli o średnicy h.

$V_{\text{kuli}}=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{1}{2}h\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8}{h}^3=\frac{1}{6}{h}^3$  

 

Zatem objętość pierścienia jest taka sama jak objętość kuli o średnicy h.