Rysunek:

Bez starty ogólności załóżmy, że:

$x<y<z$  

Wtedy:

$x=10$  

$y=3\sqrt{29}$  

$z=17$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

$\{\begin{array}{l}{\left|AD\right|}^2+{\left|DH\right|}^2=x^2\\ {\left|AD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2=y^2\\ {\left|DH\right|}^2+{\left|CD\right|}^2=z^2\end{array}$ $\{\begin{array}{l}{\left|AD\right|}^2+{\left|DH\right|}^2=x^2\\ {\left|AD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2=y^2\\ {\left|DH\right|}^2+{\left|CD\right|}^2=z^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left|AD\right|}^2+{\left|DH\right|}^2=100\\ {\left|AD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2=261\\ {\left|DH\right|}^2+{\left|CD\right|}^2=289\end{array}$  

Dodajmy stronami dwa pierwsze równania, wtedy:

$2{\left|AD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2+{\left|DH\right|}^2=361$  

Podstawiając trzecie równanie otrzymujemy:

$2{\left|AD\right|}^2+289=361$  

$2{\left|AD\right|}^2=72$  

${\left|AD\right|}^2=36$  

$\left|AD\right|=6$  

Wracając do układu równań:

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=6\\ {\left|CD\right|}^2+36=261\\ {\left|DH\right|}^2+36=100\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=6\\ {\left|CD\right|}^2=225\\ {\left|DH\right|}^2=64\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|AD\right|=6\\ \left|CD\right|=15\\ \left|DH\right|=8\end{array}$  

Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich prostokątów będących ścianami prostopadłościanu:

$P_c=2P_1+2P_2+2P_3=2\cdot \left|AD\right|\cdot \left|DH\right|+2\cdot \left|AD\right|\cdot \left|CD\right|+2\cdot \left|DH\right|\cdot \left|CD\right|=2\cdot 6\cdot 8+2\cdot 6\cdot 15+2\cdot 8\cdot 15=$  

$96+180+240=516\left[{\text{j}}^2\right]$