$a)\sin 6x=1$  

Podstawienie:

$t=6x$  

$\sin t=1$  

$t=\frac{\pi }{2}+2k\pi$  

Stąd:

$6x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid :6$  

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$  

Największa liczba ujemna spełniająca równanie:

$\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}=\frac{\pi }{12}+\frac{4k\pi }{12}=\frac{\pi }{12}\left(1+4k\right)$  

Wybierzmy liczbę k tak aby wyrażenie było ujemne a jego wynik był jak najmniejszy.

$k=-1$  

$\frac{\pi }{12}\left(1-4\right)=\frac{-3\pi }{12}$  

$x=\frac{-3\pi }{12}$  

 

 

$b)\cos 3x=-1$  

Podstawienie:

$t=3x$  

$\cos t=-1$  

A więc:

$t=\pi +2k\pi$  

$3x=\pi +2k\pi$  

$x=\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$   

Największa liczba ujemna spełniająca równanie:

$\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}=\frac{\pi }{3}\left(1+2k\right)$ $\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}=\frac{\pi }{3}\left(1+2k\right)$  

Wybierzmy liczbę k tak aby wyrażenie było ujemne a jego wynik był jak najmniejszy.

$k=-1$  

$\frac{\pi }{3}\left(1-2\right)=-\frac{\pi }{3}$  

$x=-\frac{\pi }{3}$  

 

 

$c)\sin 3x=\frac{1}{2}$  

Podstawienie:

$t=3x$  

$\sin t=\frac{1}{2}$  

$t=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee t=\frac{5}{6}\pi +2k\pi$  

$3x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee 3x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi$  

$x=\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}\vee x=\frac{5}{18}\pi +\frac{2k\pi }{3}$  

Największa liczba ujemna spełniająca równanie:

$1)\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}=\frac{\pi }{18}+\frac{12k\pi }{18}=\frac{\pi }{18}\left(1+12k\right)$  

$2)\frac{5}{18}\pi +\frac{2k\pi }{3}=\frac{5}{18}\pi +\frac{12k\pi }{18}=\frac{1}{18}\pi \left(5+12k\right)$  

Wybierzmy liczbę k tak aby wyrażenie było ujemne a jego wynik był jak najmniejszy.

$k=-1$  

$1)\frac{\pi }{18}\left(1-12\right)=-\frac{11}{18}\pi$  

$2)\frac{1}{18}\pi \left(5-12\right)=-\frac{7}{18}\pi$  

$x=-\frac{7}{18}\pi$  

 

 

$d)\cos 4x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Podstawienie:

$t=4x$  

$\cos t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$t=\frac{3}{4}\pi +2k\pi \vee t=\frac{5}{4}\pi +2k\pi$  

$4x=\frac{3}{4}\pi +2k\pi \vee 4x=\frac{5}{4}\pi +2k\pi$  

$x=\frac{3}{16}\pi +\frac{k\pi }{2}\vee x=\frac{5}{16}\pi +\frac{k\pi }{2}$  

Największa liczba ujemna spełniająca równanie:

$1)\frac{1}{16}\pi \left(3+8k\right)$  

$2)\frac{1}{16}\pi \left(5+8k\right)$  

Wybierzmy liczbę k tak aby wyrażenie było ujemne a jego wynik był jak najmniejszy.

$k=-1$  

$1)\frac{1}{16}\pi \left(3-8\right)=-\frac{5}{16}\pi$  

$2)\frac{1}{16}\pi \left(5-8\right)=-\frac{3}{16}\pi$  

$x=-\frac{3}{16}\pi$  

 

 

 

$e)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Podstawienie:

$t=x-\frac{\pi }{4}$  

$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$t=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee t=\frac{3}{4}\pi +2k\pi$  

$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi \vee x-\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi +2k\pi$  

$x=\frac{1}{2}\pi +2k\pi \vee x=\pi +2k\pi$

Największa liczba ujemna spełniająca równanie:

$1)\frac{1}{2}\pi \left(1+4k\right)$  

$2)\frac{1}{2}\pi \left(2+4k\right)$  

Wybierzmy liczbę k tak aby wyrażenie było ujemne a jego wynik był jak najmniejszy.

$k=-1$  

$1)\frac{1}{2}\pi \left(1-4\right)=-\frac{3}{2}\pi$  

$2)\frac{1}{2}\pi \left(2-4\right)=-\pi$

$x=-\pi$  

 

 

$f)\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Podstawienie:

$t=2x-\frac{\pi }{6}$  

$\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

  $t=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee t=\frac{\pi }{6}+2k\pi$  

$2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$  

$2x=2k\pi \vee 2x=\frac{1}{3}\pi +2k\pi$  

$x=k\pi \vee x=\frac{1}{6}\pi +k\pi$  

Największa liczba ujemna spełniająca równanie:

$1)k\pi$  

$2)\frac{1}{6}\pi +k\pi =\frac{1}{6}\pi \left(1+6k\right)$  

Wybierzmy liczbę k tak aby wyrażenie było ujemne a jego wynik był jak najmniejszy.

$k=-1$  

$1)-\pi$  

$2)\frac{1}{6}\pi \left(1-6\right)=-\frac{5}{6}\pi$  

$x=-\frac{5}{6}\pi$