Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony (Zeszyt ćwiczeń, Nowa Era)

Wyznacz resztę z dzielenia 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Oznaczmy:

`u(x)=(x-1)(x+3)` 

 

Zauważmy, że wielomian u jest wielomianem stopnia 2. Dzieląc wielomian w przez wielomian stopnia 2, możemy otrzymać resztę stopnia co najwyżej 1. Musi więc zachodzić równość:

`w(x)=p(x)*(x-1)(x+3)+#underbrace(ax+b)_("reszta")` 

 

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-1 jest równa 2, więc w(1)=2. Podstawmy x=1 do powyższej równości.

`w(1)=p(1)*#underbrace((1-1))_0(1+3)+a*1+b` 

`w(1)=a+b` 

 

 

Musi więc zachodzić równość:

`a+b=2` 

 

 

Z drugiej strony wiemy także, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x+3) jest równa 6, więc w(-3)=6. Podstawmy x=-3.

`w(-3)=p(-3)*(-3-1)#underbrace((-3+3))_0+a*(-3)+b` 

`w(-3)=-3a+b` 

 

Zachodzi więc równość:

`-3a+b=6` 

 

Mamy zatem do rozwiązania układ równań:

`{(a+b=2\ \ \ |*3), (-3a+b=6):}` 

`{(3a+3b=6), (-3a+b=6):}\ \ \ |+` 

 `4b=12\ \ \ \:4` 

`b=3` 

 

 

Podstawmy wyliczoną wartość b do pierwszego równania pierwszego układu:

`a+3=2\ \ \ \|-3` 

`a=-1`   

 

Znamy już wartości a oraz b, więc możemy zapisać szukaną resztę:

`ul(ul("reszta"=-x+3))` 

 

 

 

 

`b)` 

Oznaczmy:

`u(x)=x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)` 

 

Zauważmy, że wielomian u jest wielomianem stopnia 2. Dzieląc wielomian w przez wielomian stopnia 2, możemy otrzymać resztę stopnia co najwyżej 1. Musi więc zachodzić równość:

`w(x)=p(x)*(x-5)(x+5)+#underbrace(ax+b)_("reszta")` 

Wiemy, że 5 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc w(5)=0. Podstawmy x=1 do powyższej równości.

`w(5)=p(5)*#underbrace((5-5))_0*(5+5)+a*5+b` 

`w(5)=5a+b` 

 

Musi więc zachodzić równość: 

`5a+b=0` 

 

 

 

Z drugiej strony wiemy także, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x+5) jest równa 8, więc w(-5)=8. Podstawmy x=-5.

`w(-5)=p(-5)*(-5-5)*#underbrace((-5+5))_0+a*(-5)+b` 

`w(-5)=-5a+b` 

 

 

Zachodzi więc równość:

`-5a+b=8` 

 

Mamy zatem do rozwiązania układ równań:

`{(5a+b=0\ \ \ |-5a), (-5a+b=8):}` 

`{(b=-5a), (-5a-5a=8):}` 

`{(b=-5a), (-10a=8\ \ \ |:(-10)):}` 

`{(b=-5a), (a=-8/10=-4/5):}` 

`{(b=-5*(-4/5)=4), (a=-4/5):}` 

 

Znamy już wartości a oraz b, więc możemy zapisać szukaną resztę:
`ul(ul("reszta"=-4/5x+4))` 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Odejmowanie pisemne
  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik, wyrównując ich cyfry do prawej strony.

    odejmowanie1
     
  2. Odejmowanie prowadzimy od strony prawej do lewej. Najpierw odejmujemy jedności, w naszym przykładzie mamy 3 - 9. Jeśli jedności odjemnej są mniejsze od jedności odjemnika (a tak jest w naszym przykładzie), wtedy z dziesiątek przenosimy jedną (lub więcej) „dziesiątkę” do jedności i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: od 3 nie możemy odjąć 9, więc przenosimy (pożyczamy) jedną dziesiątkę z siedmiu dziesiątek i otrzymujemy 13 – 9 = 4, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 4, a nad cyframi dziesiątek zapisujemy ilość dziesiątek które nam zostały czyli 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostało nam sześć dziesiątek).

    odejmowanie2
     
  3. Odejmujemy dziesiątki, a następnie zapisujemy wynik pod cyframi dziesiątek. Gdy dziesiątki odjemnej są mniejsze od dziesiątek odjemnika, z setek przenosimy jedną (lub więcej) „setkę” do dziesiątek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 6 – 6 = 0, czyli pod cyframi dziesiątek zapisujemy 0.

    odejmowanie2
     
  4. Odejmujemy setki, a następnie wynik zapisujemy pod cyframi setek. Gdy setki odjemnej są mniejsze od setek odjemnika, z tysięcy przenosimy jeden (lub więcej) „tysiąc” do setek i wykonujemy zwykłe odejmowanie.
    W naszym przykładzie mamy: 2 – 1 = 1, czyli pod cyframi setek zapisujemy 1.

    odejmowanie3
     
  5. W rezultacie opisanego postępowania otrzymujemy wynik odejmowania pisemnego. W naszym przykładzie różnicą liczb 273 i 169 jest liczba 104.


Dla utrwalenia przeanalizujmy jeszcze jeden przykład odejmowania pisemnego.

Wykonamy pisemnie odejmowanie: 4071 - 956.

  1. Zapisujemy odjemną, a pod nią odjemnik.

    odejmowanie11
     
  2. Odejmujemy jedności: od 1 nie możemy odjąć 6, więc pożyczamy jedną dziesiątkę z siedmiu i otrzymujemy 11 – 6 = 5, czyli pod cyframi jedności zapisujemy 5, natomiast nad cyframi dziesiątek wpisujemy 6 (bo od siedmiu dziesiątek pożyczyliśmy jedną, czyli zostaje sześć dziesiątek).

    odejmowanie12
     
  3. Odejmujemy dziesiątki: 6 – 5 = 1, czyli pod cyframi dziesiątek wpisujemy 1.

    odejmowanie13
     
  4. Odejmujemy setki: od 0 nie możemy odjąć 9, więc pożyczamy jeden tysiąc i rozmieniamy go na 10 setek (bo jeden tysiąc to dziesięć setek) i otrzymujemy 10 – 9 = 1, czyli pod cyframi setek wpisujemy 1, a nad cyframi tysięcy wpisujemy 3, bo tyle tysięcy zostało.

    odejmowanie14
     
  5. Odejmujemy tysiące: w naszym przykładzie mamy 3 – 0 = 3 i wynik zapisujemy pod cyframi tysięcy.

    odejmowanie15
     
  6. Wynik naszego odejmowania: 4071 – 956 = 3115.

Mnożenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą mnożymy (czyli w 10, 100, 1000 itd.).

Przykłady:

  • $$0,253•10= 2,53$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo
  • $$3,007•100= 300,7$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo
  • $$0,024•1000= 24$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo
Zobacz także
Udostępnij zadanie