Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wyznacz resztę z dzielenia 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Oznaczmy:

`u(x)=(x-1)(x+3)` 

 

Zauważmy, że wielomian u jest wielomianem stopnia 2. Dzieląc wielomian w przez wielomian stopnia 2, możemy otrzymać resztę stopnia co najwyżej 1. Musi więc zachodzić równość:

`w(x)=p(x)*(x-1)(x+3)+#underbrace(ax+b)_("reszta")` 

 

Wiemy, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian x-1 jest równa 2, więc w(1)=2. Podstawmy x=1 do powyższej równości.

`w(1)=p(1)*#underbrace((1-1))_0(1+3)+a*1+b` 

`w(1)=a+b` 

 

 

Musi więc zachodzić równość:

`a+b=2` 

 

 

Z drugiej strony wiemy także, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x+3) jest równa 6, więc w(-3)=6. Podstawmy x=-3.

`w(-3)=p(-3)*(-3-1)#underbrace((-3+3))_0+a*(-3)+b` 

`w(-3)=-3a+b` 

 

Zachodzi więc równość:

`-3a+b=6` 

 

Mamy zatem do rozwiązania układ równań:

`{(a+b=2\ \ \ |*3), (-3a+b=6):}` 

`{(3a+3b=6), (-3a+b=6):}\ \ \ |+` 

 `4b=12\ \ \ \:4` 

`b=3` 

 

 

Podstawmy wyliczoną wartość b do pierwszego równania pierwszego układu:

`a+3=2\ \ \ \|-3` 

`a=-1`   

 

Znamy już wartości a oraz b, więc możemy zapisać szukaną resztę:

`ul(ul("reszta"=-x+3))` 

 

 

 

 

`b)` 

Oznaczmy:

`u(x)=x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)` 

 

Zauważmy, że wielomian u jest wielomianem stopnia 2. Dzieląc wielomian w przez wielomian stopnia 2, możemy otrzymać resztę stopnia co najwyżej 1. Musi więc zachodzić równość:

`w(x)=p(x)*(x-5)(x+5)+#underbrace(ax+b)_("reszta")` 

Wiemy, że 5 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc w(5)=0. Podstawmy x=1 do powyższej równości.

`w(5)=p(5)*#underbrace((5-5))_0*(5+5)+a*5+b` 

`w(5)=5a+b` 

 

Musi więc zachodzić równość: 

`5a+b=0` 

 

 

 

Z drugiej strony wiemy także, że reszta z dzielenia wielomianu w przez dwumian (x+5) jest równa 8, więc w(-5)=8. Podstawmy x=-5.

`w(-5)=p(-5)*(-5-5)*#underbrace((-5+5))_0+a*(-5)+b` 

`w(-5)=-5a+b` 

 

 

Zachodzi więc równość:

`-5a+b=8` 

 

Mamy zatem do rozwiązania układ równań:

`{(5a+b=0\ \ \ |-5a), (-5a+b=8):}` 

`{(b=-5a), (-5a-5a=8):}` 

`{(b=-5a), (-10a=8\ \ \ |:(-10)):}` 

`{(b=-5a), (a=-8/10=-4/5):}` 

`{(b=-5*(-4/5)=4), (a=-4/5):}` 

 

Znamy już wartości a oraz b, więc możemy zapisać szukaną resztę:
`ul(ul("reszta"=-4/5x+4))`