$a)$  

$u\left(x\right)={\left(x-a\right)}^2=x^2-2ax+a^2$  

$w\left(x\right)=x^2+a^{2}x+4$  

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach. Porównajmy więc:

$x^2:1=1$  

$x^1:-2a=a^2$  

$x^0:a^2=4$  

 

Musimy więc rozwiązać układ równań:

$\{\begin{array}{l}-2a=a^2\mid +2a\\ a^2=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}0=a^2+2a\\ a=2\text{lub}a=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a\left(a+2\right)=0\\ a=2\text{lub}a=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=0\text{lub}a+2=0\\ a=2\text{lub}a=-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=0\text{lub}a=-2\\ a=2\text{lub}a=-2\end{array}$

 

Istnieje tylko jedna wartość a spełniająca obie równości:

$\underline{\underline{a=-2}}$  

 

 

$b)$  

$u\left(x\right)=\left(x-1\right){\left(x-a\right)}^2=\left(x-1\right)\left(x^2-2ax+a^2\right)=x^3-2a{x}^2+a^{2}x-x^2+2ax-a^2=$  

$=x^3+\left(-2a-1\right)x^2+\left(a^2+2a\right)x-a^2$  

$w\left(x\right)=x^3-3x^2+\left(a^3+2\right)x-a$  

 

$x^3:1=1$  

$x^2:-2a-1=-3$  

$x^1:a^2+2a=a^3+2$  

$x^0:-a^2=-a$  

 

 

Wyliczmy wartość a z drugiego równania:

$-2a-1=-3\mid +1$  

$-2a=-2\mid :\left(-2\right)$  

$a=1$  

 

I sprawdźmy, czy spełnia ona pozostałe dwa równania:

$1^2+2\cdot 1\stackrel{?}{=}{1}^3+2$  

$1+2\stackrel{?}{=}1+2$  

Trzecie równanie jest spełnione.

 

$-1^2\stackrel{?}{=}-1$  

$-1\stackrel{?}{=}-1$  

Czwarte równanie jest spełnione. 

 

 

Mamy więc rozwiązanie:

$\underline{\underline{a=1}}$  

 

 

 

$c)$  

$u\left(x\right)={\left(ax+1\right)}^3={\left(ax\right)}^3+3{\left(ax\right)}^2\cdot 1+3ax\cdot 1^2+1^3=$  

$=a^3{x}^3+3a^2{x}^2+3ax+1$  

$w\left(x\right)=4a{x}^3+\left(a^2+4a\right)x^2+3ax+1$  

 

$x^3:a^3=4a$  

$x^2:3a^2=a^2+4a$  

$x^1:3a=3a$  

$x^0:1=1$  

 

Ostatnie dwa równania są zawsze spełnione. Rozwiążmy układ utworzony z dwóch pierwszych równań:

$\{\begin{array}{l}{a}^3=4a\mid -4a\\ 3a^2=a^2+4a\mid -a^2-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}^3-4a=0\\ 2a^2-4a=0\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a\left(a^2-4\right)=0\\ a^2-2a=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a\left(a-2\right)\left(a+2\right)=0\\ a\left(a-2\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=0\text{lub}a=2\text{lub}a=-2\\ a=0\text{lub}a=2\end{array}$  

 

Istnieją dwie wartości parametru u spełniające ten układ:

$\underline{\underline{a=0\text{lub}a=2}}$