Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański , Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wyznacz wartość parametru a 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`u(x)=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2` 

`w(x)=x^2+a^2x+4` 

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach. Porównajmy więc:

`x^2:\ \ \ 1=1` 

`x^1:\ \ \ -2a=a^2` 

`x^0:\ \ \ a^2=4` 

 

Musimy więc rozwiązać układ równań:

`{(-2a=a^2\ \ \ |+2a), (a^2=4):}` 

`{(0=a^2+2a), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}` 

`{(a(a+2)=0), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}` 

`{(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a+2=0), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}` 

`{(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2), (a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2):}`

 

Istnieje tylko jedna wartość a spełniająca obie równości:

`ul(ul(a=-2))` 

 

 

`b)` 

`u(x)=(x-1)(x-a)^2=(x-1)(x^2-2ax+a^2)=x^3-2ax^2+a^2x-x^2+2ax-a^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-2a-1)x^2+(a^2+2a)x-a^2` 

`w(x)=x^3-3x^2+(a^3+2)x-a` 

 

`x^3:\ \ \ 1=1` 

`x^2:\ \ \ -2a-1=-3` 

`x^1:\ \ \ a^2+2a=a^3+2` 

`x^0:\ \ \ -a^2=-a` 

 

 

Wyliczmy wartość a z drugiego równania:

`-2a-1=-3\ \ \ |+1` 

`-2a=-2\ \ \ |:(-2)` 

`a=1` 

 

I sprawdźmy, czy spełnia ona pozostałe dwa równania:

`1^2+2*1#=^?1^3+2` 

`1+2#=^?1+2` 

Trzecie równanie jest spełnione.

 

`-1^2#=^?-1` 

`-1#=^?-1` 

Czwarte równanie jest spełnione. 

 

 

Mamy więc rozwiązanie:

`ul(ul(a=1))` 

 

 

 

`c)` 

`u(x)=(ax+1)^3=(ax)^3+3(ax)^2*1+3ax*1^2+1^3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =a^3x^3+3a^2x^2+3ax+1` 

`w(x)=4ax^3+(a^2+4a)x^2+3ax+1` 

 

`x^3:\ \ \ a^3=4a` 

`x^2:\ \ \ 3a^2=a^2+4a` 

`x^1:\ \ \ 3a=3a` 

`x^0:\ \ \ 1=1` 

 

Ostatnie dwa równania są zawsze spełnione. Rozwiążmy układ utworzony z dwóch pierwszych równań:

`{(a^3=4a\ \ \ |-4a), (3a^2=a^2+4a\ \ \ \ \|-a^2-4a):}` 

`{(a^3-4a=0) , (2a^2-4a=0\ \ \ |:2):}` 

`{(a(a^2-4)=0), (a^2-2a=0):}` 

`{(a(a-2)(a+2)=0) , (a(a-2)=0):}` 

`{(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2), (a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=2):}` 

 

Istnieją dwie wartości parametru u spełniające ten układ:

`ul(ul(a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a=2))`