Dla funkcji f(x)

a)

$D=R$  

 

b)

Punkt przecięcia z osią OY:

$f\left(0\right)=0^3-2\cdot 0^2+0=0$  

Miejsca zerowe: 

$x^3-2x^2+x=0$  

$x\left(x^2-2x+1\right)=0$  

$x{\left(x-1\right)}^2=0$  

$x_1=0,x_2=1$  

 

c)

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3-2x^2+x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3\left(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}\right)\right)=+\infty$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-2x^2+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3\left(1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^3}\right)\right)=-\infty$  

Brak asymptot.

 

d)

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-2\cdot 2x+1$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4x+1$  

$D_{f{}^{\prime }}=R$  

 

e)

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$3x^2-4x+1=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4$  

$x_1=\frac{4-2}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$  

$x_2=\frac{4+2}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$