a)

$V\left(x\right)=x\cdot \left(x+3\right)\cdot \left(3-x\right)=\left(x^2+3x\right)\cdot \left(3-x\right)=3x^2-x^3+9x-3x^2=-x^3+9x$  

$V{}^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+9$  

$-3x^2+9=0\mid :\left(-3\right)$  

$x^2-3=0$  

$\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=0$  

$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$  

 

Odp.  $x=\sqrt{3}$  .

---

b)

Niech  $a$  oznacza długość krawędzi podstawy, a  $h$  - długość wysokości tego prostopadłościanu

Założenie:  $a,h>0$  

$4a+4a+4h=32$  

$8a+4h=32\mid :4$  

$2a+h=8\mid -2a$  

$h=8-2a$  

 

$V\left(a\right)=a^2\cdot h=a^2\cdot \left(8-2a\right)=8a^2-2a^3$  

$V{}^{\prime }\left(a\right)=16a-2\cdot 3a^2$  

$V{}^{\prime }\left(a\right)=16a-6a^2$  

 

$16a-6a^2=0$  

$a\left(16-6a\right)=0$  

$a=0\vee 16-6a=0$  

 

$16-6a=0$  

$16=6a$  

$\frac{16}{6}=a$  

$\frac{8}{3}=a$  

 

$h=8-2\cdot \frac{8}{3}$  

$h=8-\frac{16}{3}$  

$h=\frac{24}{3}-\frac{16}{3}$  

$h=\frac{8}{3}$  

 

Odp. Wymiary to  $\frac{8}{3},\frac{8}{3},\frac{8}{3}$  .

 

---

c)

Niech  $a$  oznacza długość krawędzi podstawy, a  $h$  - długość wysokości tego prostopadłościanu

Założenie  $a,h>0$  

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2+h^2=6^2$  

$2a^2+h^2=36$  

$h^2=36-2a^2$  

$h=\sqrt{36-2a^2}$  

 

$V=a^2\cdot h=a^2\cdot \sqrt{36-2a^2}=\sqrt{a^4}\cdot \sqrt{36-2a^2}=\sqrt{a^4\left(36-2a^2\right)}$  

$f\left(x\right)=a^4\left(36-2a^2\right)$  

$f\left(x\right)=36a^4-2a^6$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=36\cdot 4a^3-2\cdot 6a^5$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=144a^3-12a^5$  

$144a^3-12a^5=0$  

$12a^3\left(12-a^2\right)=0$  

$a^3=0\vee 12-a^2=0$  

$a=0\notin D\vee a^2=12$   

 

$a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

 

$h=\sqrt{36-2\cdot 12}=\sqrt{36-24}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

 

Odp. Wymiary to  $2\sqrt{3},2\sqrt{3},2\sqrt{3}$  . 

---

d)

$V=27$  

$V=a^2\cdot h$  

$a^2\cdot h=27\mid :a^2$  

$h=\frac{27}{a^2}$  

 

$P_c\left(a\right)=a^2+a^2+4\cdot a\cdot \left(\frac{27}{a^2}\right)$  

$P_c\left(a\right)=2a^2+\frac{108}{a}$  

$P_c{}^{\prime }\left(a\right)=4a+\frac{-108}{a^2}$  

$4a-\frac{108}{a^2}=0\mid \cdot a^2$  

$4a^3-108=0\mid :4$  

$a^3-27=0$  

$a^3=27$  

$a=3$  

 

$h=\frac{27}{3^2}=\frac{27}{9}=3$  

 

Odp. Wymiary to  $3,3,3$  .