Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy, jaką długość ma odcinek x. 

${12}^2+x^2={15}^2$  

$144+x^2=225\mid -144$  

$x^2=81$  

$x=9\left[cm\right]$  

 

Odcinek x stanowi trzecią część wysokości podstawy:

Obliczymy, jaką długość ma krawędź podstawy:

$\frac{a\sqrt{3}}{6}=9\mid \cdot 6$  

$a\sqrt{3}=54$  

$a=\frac{54}{\sqrt{3}}=\frac{54\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{54\sqrt{3}}{3}=18\sqrt{3}\left[cm\right]$  

 

Obliczamy pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego o boku a:

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(18\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{{\sout{324}}^{81}\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{{\sout{4}}^1}=243\sqrt{3}\left[c{m}^2\right]$  

 

Obliczamy objętość:

$V=\frac{1}{{\sout{3}}^1}\cdot 243\sqrt{3}\cdot {\sout{12}}^4=972\sqrt{3}\left[c{m}^3\right]$