$\text{a)}$  

Obliczamy średnią ocen:

$\overline{x}=\frac{2\cdot 1+5\cdot 2+8\cdot 3+8\cdot 4+5\cdot 5+2\cdot 6}{2+5+8+8+5+2}=\frac{2+10+24+32+25+12}{30}=\frac{105}{30}=\frac{35}{10}=3,5$  

 

Obliczamy wariancję tych ocen:

${\sigma }^2=\frac{2\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+5\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+8\cdot {\left(3-3,5\right)}^2+8\cdot {\left(4-3,5\right)}^2+5\cdot {\left(5-3,5\right)}^2+2\cdot {\left(6-3,5\right)}^2}{30}=$  

$=\frac{2\cdot {\left(-2,5\right)}^2+5\cdot {\left(-1,5\right)}^2+8\cdot {\left(-0,5\right)}^2+8\cdot {0,5}^2+5\cdot {1,5}^2+2\cdot {2,5}^2}{30}=$  

$=\frac{2\cdot 6,25+5\cdot 2,25+8\cdot 0,25+8\cdot 0,25+5\cdot 2,25+2\cdot 6,25}{30}=$  

$=\frac{12,5+11,25+2+2+11,25+12,5}{30}=\frac{51,5}{30}=\frac{515}{300}=\frac{103}{60}$  

 

Obliczamy odchylenie standardowe:

$\sigma =\sqrt{\frac{103}{60}}\approx \sqrt{1,72}\approx 1,31$  

---

$\text{b)}$  

Jeśli ocena ma różnić się od średniej o mniej niż odchylenie standardowe, to ocena musi być zawarta w przedziale
$\left(\overline{x}-\sigma ;\overline{x}+\sigma \right)$  

 

Oszacujmy wartości:

$\overline{x}-\sigma \approx 3,5-1,31=2,19$  

$\overline{x}+\sigma \approx 3,5+1,31=4,81$  

 

Oceny mieszczące się w tym przedziale to 3 i 4.

Trójkę otrzymało 8 uczniów, czwórkę także otrzymało 8 uczniów - razem 16 uczniów.

Odp. Ocenę różniącą się od średniej o mniej niż odchylenie standardowe otrzymało 16 uczniów.

---

$\text{c)}$  

Oszacujmy wartości:

$\overline{x}-2\sigma \approx 3,5-2\cdot 1,31=3,5-2,62=0,88$  

$\overline{x}+2\sigma \approx 3,5+2\cdot 1,31=2,5+2,62=6,12$  

 

Podany przedział zawiera wszystkie oceny. Wiemy, że wszystkich wyników (ocen) było 30.

Odp. W podanym przedziale mieszczą się oceny wszystkich (30) uczniów.