Obliczmy średnią arytmetyczną liczb ze zbioru X:

${\overline{x}}_X=\frac{1+\left(-1\right)+2+\left(-2\right)+3+\left(-3\right)}{6}=\frac{0}{6}=0$  

Obliczmy wariancję liczb z zestawu X:

${\sigma }_X^2=\frac{{\left(1-0\right)}^2+{\left(-1-0\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2+{\left(-2-0\right)}^2+{\left(3-0\right)}^2+{\left(-3-0\right)}^2}{6}=$  

$=\frac{1^2+{\left(-1\right)}^2+2^2+{\left(-2\right)}^2+3^2+{\left(-3\right)}^2}{6}=\frac{1+1+4+4+9+9}{6}=\frac{28}{6}=\frac{14}{3}$  

Obliczamy odchylenie standardowe liczb z zestawu X:

${\sigma }_X=\sqrt{\frac{14}{3}}$  

 

Obliczmy średnią arytmetyczną liczb z zestawu Y:

${\overline{x}}_Y=\frac{10+\left(-10\right)+20+\left(-20\right)+30+\left(-30\right)}{6}=\frac{0}{6}=0$  

Obliczmy wariancję liczb z zestawu Y:

${\sigma }_Y^2=\frac{{\left(10-0\right)}^2+{\left(-10-0\right)}^2+{\left(20-0\right)}^2+{\left(-20-0\right)}^2+{\left(30-0\right)}^2+{\left(-30-0\right)}^2}{6}=$  

$=\frac{{10}^2+{\left(-10\right)}^2+{20}^2+{\left(-20\right)}^2+{30}^2+{\left(-30\right)}^2}{6}=\frac{100+100+400+400+900+900}{6}=\frac{2800}{6}=\frac{1400}{3}$  

Obliczamy odchylenie standardowe liczb z zestawu Y:

${\sigma }_Y=\sqrt{\frac{1400}{3}}=\sqrt{100}\cdot \sqrt{\frac{14}{3}}=10\sqrt{\frac{14}{3}}$  

Obliczmy, ile razy odchylenie standardowe liczb ze zbioru Y jest większe od odchylenia standardowego liczb ze zbioru X:

$\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}=\frac{10\sqrt{\frac{14}{3}}}{\sqrt{\frac{14}{3}}}=10$  

 

Wniosek

Zauważmy, że każda liczba z zestawu Y była liczbą z zestawu X pomnożoną razy 10. Zachodzi więc równość:

$Y=10\cdot X$  

Przy czym mnożenie zbioru X razy 10 rozumiemy jako mnożenie każdego jego elementu razy 10. 

Zachodzą następujące zależności:

${\sigma }_Y^2={10}^2\cdot {\sigma }_X^2$  

${\sigma }_Y=10\cdot {\sigma }_X$  

Ogólnie, jeśli każda liczba z pewnego zbioru A powstaje przez pomnożenie przez pewną stałą k liczby ze zbioru B, czyli:

$A=k\cdot B\left(\text{czyli}A=\left\{a_1,a_2,\dots ,a_n\right\}\text{i}B=\left\{k\cdot a_1,k\cdot a_2,\dots ,k\cdot a_n\right\}\right)$    

to prawdziwe są równości:

${\sigma }_A^2=k^2\cdot {\sigma }_B^2$  

${\sigma }_A=k\cdot {\sigma }_B$