Drut ma długość 68 cm. Części mają długość x, 68-x.

 

Bok kwadratu ma długość:

$\frac{x}{4}$  

 

Obwód prostokąta:

$2a+2b=68-x$   

$a+b=34-\frac{x}{2}$  

Stosunek boków prostokąta wynosi 3:1 a więc:

$a=3b$  

 

$3b+b=34-\frac{x}{2}$  

$4b=34-\frac{x}{2}$  

$b=\frac{34}{4}-\frac{x}{8}$  

 

Pole kwadratu:

$P={\left(\frac{x}{4}\right)}^2=\frac{x^2}{16}$  

 

Pole prostokąta:

$P=ab=3b\cdot b=3b^2=3\cdot {\left(\frac{34}{4}-\frac{x}{8}\right)}^2=3{\left(\frac{1}{8}\left(68-x\right)\right)}^2=\frac{3}{64}{\left(68-x\right)}^2=\frac{3}{64}\left({68}^2-136x+x^2\right)=$  

$=\frac{3}{64}\cdot {17}^2\cdot 4^2-\frac{3}{64}\cdot 136x+\frac{3}{64}{x}^2=\frac{3}{16}\cdot 289-\frac{3}{8}\cdot 17x+\frac{3}{64}{x}^2$  

 

Suma pól:

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{16}+\frac{867}{16}-\frac{51}{8}x+\frac{3}{64}{x}^2=\frac{7}{64}{x}^2-\frac{51}{8}x+\frac{867}{16}$  

Najmniejsza wartość funkcji będzie w wierzchołku:

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{\frac{51}{8}}{2\cdot \frac{7}{64}}=\frac{\frac{51}{8}}{\frac{7}{32}}=\frac{51}{8}\cdot \frac{32}{7}=51\cdot \frac{4}{7}=\frac{204}{7}=29\frac{1}{7}$  

 

A więc część drutu przeznaczonego na kwadrat ma długość:

$x=29\frac{1}{7}\left[\text{cm}\right]$   

Część drutu przeznaczonego na prostokąt:

$68-x=68-29\frac{1}{7}=39-\frac{1}{7}=38\frac{6}{7}\left[\text{cm}\right]$