$a)2x^2+x\le 0$  

$x\left(2x+1\right)\le 0$  

$x=0\vee 2x+1=0$  

$x=0\vee 2x=-1$  

$x_1=0\vee x_2=-\frac{1}{2}$  

Parabola ma skierowane ramiona ku górze a więc:

$x\in \left[-\frac{1}{2},0\right]$  

 

$b){\left(x+7\right)}^2>0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc powyższa nierówność zachodzi, gdy:

$x+7\ne 0$  

$x\ne -7$  

$x\in R\backslash \left\{-7\right\}$  

 

$c){\left(2x+3\right)}^2\le 0$   

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc powyższa nierówność zachodzi, gdy:

$2x+3=0$  

$2x=-3$  

$x=-\frac{3}{2}$  

 

$d)x^2-x+8>2$  

$x^2-x+6>0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=1-24<0$  

Nie ma miejsc zerowych, natomiast parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc stale jest ponad osią OX. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste.

$x\in R$  

 

$e)\left(x+2\right)\left(x-3\right)<6$  

$x^2-3x+2x-6<6$  

$x^2-x-12<0$  

$x^2+3x-4x-12<0$  

$x\left(x+3\right)-4\left(x+3\right)<0$  

$\left(x+3\right)\left(x-4\right)<0$  

$x_1=-3\vee x_2=4$  

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

$x\in \left(-3,4\right)$   

 

$f)\left(3-2x\right)\left(3+2x\right)\ge 1$  

$9-4x^2\ge 1$  

$8-4x^2\ge 0$  

$2-x^2\ge 0$  

$\left(\sqrt{2}-x\right)\left(\sqrt{2}+x\right)\ge 0$  

$x_1=\sqrt{2}\vee x_2=-\sqrt{2}$  

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc:

$x\in \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$  

 

$g)\frac{3}{2}x+2\ge x^2$  

$0\ge x^2-\frac{3}{2}x-2\mid \cdot 2$  

$0\ge 2x^2-3x-4$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-4\right)=9+32=41$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{41}$  

$x_1=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$   

$x_2=\frac{3+\sqrt{41}}{4}$  

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

$x\in \left[\frac{3-\sqrt{41}}{4},\frac{3+\sqrt{41}}{4}\right]$  

 

$h)3x^2+1>2x$  

$3x^2-2x+1>0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12<0$  

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych natomiast parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc jest zawsze ponad osią OX. Zatem nierówność jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą.

$x\in R$  

 

$i)3x-5x^2>4$  

$0>5x^2-3x+4$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 5\cdot 4=9-80<0$  

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych natomiast parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc jest zawsze ponad osią OX. Zatem nierówność jest sprzeczna.

$x\in \varnothing$