Matematyka

Jaka jest ostatnia cyfra podanej liczby? a) 9¹⁷∙5¹⁵+1 4.54 gwiazdek na podstawie 13 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a) \ \ 9^17*5^15+1=(3^2)^17+5^15+1=3^34+5^15+1` 

Zastanówmy się najpierw, jaką cyfrę jedności będą miały liczby 334 i 515.

 

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 3.

 

`3^1=3`

 

`3^2=9`

 

`3^3=27`

 

`3^4=81`

 

`3^5=243`

 

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 3 powtarczają się w cyklu złożonym z czterech cyfr: 3, 9, 7 i 1.

 

Gdy podniesiemy liczbę 3 do potęgi 34, przejdziemy 8 pełnych cykli i zatrzymamy się na drugiej z wymienionych cyfr z cyklu, ponieważ 34:4=8 r 2. Stąd ostatnią cyfrą liczby 334 jest liczba 9.

 

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 5.

 

`5^1=5`

 

`5^2=25`

 

`5^3=125`

 

`5^4=625`

 

`5^5=3125`

 

Każda potęga liczby 5 kończy się cyfrą 5, stąd liczba 515 również kończy się cyfrą 5.

`squaresquaresquaresquare9*squaresquaresquaresquare5+1=squaresquaresquaresquaresquaresquaresquaresquare5+1=squaresquaresquaresquaresquaresquaresquaresquare6` 

 

Pomnożone przez siebie liczby: jedna o cyfrze jedności 9, a druga o cyfrze jedności 5, dadzą w wyniku liczbę o cyfrze jedności 5. Gdy dodamy do niej 1, otrzymamy liczbę o cyfrze jedności 6.

Odpowiedź: Ostatnią cyfrą tej liczby jest liczba 6.

b) Wiemy, już jak zmieniają się kolejne potęgi liczby 3. Gdy podniesiemy liczbę 3 do potęgi 22, przejdziemy 5 pełnych cykli i zatrzymamy się na drugiej z wymienionych cyfr z cyklu, ponieważ 22:4=5 r 2. Stąd ostatnią cyfrą liczby 322 jest liczba 9.

 

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 2.

 

 

`2^1=2`

 

`2^2=4`

 

`2^3=8`

 

`2^4=16`

 

`2^5=32`

 

`2^6=64`

 

`2^7=128`

 

`2^8=256`

 

`2^9=512`

 

`2^10=1024`

 

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 2 powtarzają się w cyklu złożonym z czterech cyfr: 2, 4, 8 i 6.

 

Gdy podniesiemy liczbę 2 do potęgi 33, przejdziemy 8 pełnych cykli i zatrzymamy się na pierwszej z wymienionych cyfr, ponieważ 33:4=8 r1. Ostatnią cyfrą liczby 233 jest zatem cyfra 2.

`squaresquaresquaresquare2+squaresquaresquaresquare9=squaresquaresquaresquare1` 

 

 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-09-23
Dziękuję!
Informacje
Liczy się matematyka 2
Autorzy: Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Monika

3834

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Mnożenie pisemne
  1. Czynniki zapisujemy jeden pod drugim wyrównując do prawej.

    mnozenie1
     
  2. Mnożymy cyfrę jedności drugiego czynnika przez wszystkie cyfry pierwszego czynnika, a otrzymany wynik zapisujemy pod kreską, wyrównując do cyfry jedności. Gdy przy mnożeniu jednej z cyfr drugiego czynnika przez jedności, dziesiątki i setki drugiego czynnika wystąpi wynik większy od 9, to cyfrę jedności tego wyniku zapisujemy pod kreską, natomiast cyfrę dziesiątek przenosimy do dziesiątek lub setek i dodajemy go do wyniku następnego mnożenia.

    W naszym przykładzie:
    4•3=12 , czyli 2 wpisujemy pod cyframi jedności, a 1 przenosimy do dziesiątek, następnie: 4•1=4, ale uwzględniamy przeniesioną 1, czyli mamy 4+1=5 i 5 wpisujemy pod cyframi dziesiątek, następnie mamy 4•1=4 i 4 wpisujemy pod cyframi setek.

    mnozenie2
     
  3. Mnożymy kolejną cyfrę drugiego czynnika przez wszystkie cyfry pierwszego czynnika, a otrzymamy wynik zapisujemy pod poprzednim, wyrównując do cyfry dziesiątek.

    W naszym przykładzie:
    1•3=3 i 3 zapisujemy pod cyframi dziesiątek, następnie 1•1=1 i 1 wpisujemy pod cyframi setek, oraz 1•1=1 i 1 wpisujemy pod cyframi tysięcy.

    mnozenie3
     
  4. Po wykonaniu mnożeń, otrzymane dwa wyniki dodajemy do siebie według zasad dodawania pisemnego.

    mnozenie4
     
  5. W rezultacie wykonanych kroków otrzymujemy wynik mnożenia pisemnego. Iloczyn liczby 113 oraz 14 wynosi 1572.

Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Zobacz także
Udostępnij zadanie