Matematyka

Autorzy:Adam Makowski, Tomasz Masłowski, Anna Toruńska

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Jaka jest ostatnia cyfra podanej liczby? a) 9¹⁷∙5¹⁵+1 4.33 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a) \ \ 9^17*5^15+1=(3^2)^17+5^15+1=3^34+5^15+1` 

Zastanówmy się najpierw, jaką cyfrę jedności będą miały liczby 334 i 515.

 

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 3.

 

`3^1=3` 

 

`3^2=9` 

 

`3^3=27`  

 

`3^4=81` 

 

`3^5=243`

 

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 3 powtarczają się w cyklu złożonym z czterech cyfr: 3, 9, 7 i 1.

 

Gdy podniesiemy liczbę 3 do potęgi 34, przejdziemy 8 pełnych cykli i zatrzymamy się na drugiej z wymienionych cyfr z cyklu, ponieważ 34:4=8 r 2. Stąd ostatnią cyfrą liczby 334 jest liczba 9.

 

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 5.

 

`5^1=5`  

 

`5^2=25` 

 

`5^3=125` 

 

`5^4=625` 

 

`5^5=3125`

 

Każda potęga liczby 5 kończy się cyfrą 5, stąd liczba 515 również kończy się cyfrą 5.

`squaresquaresquaresquare9*squaresquaresquaresquare5+1=squaresquaresquaresquaresquaresquaresquaresquare5+1=squaresquaresquaresquaresquaresquaresquaresquare6` 

 

Pomnożone przez siebie liczby: jedna o cyfrze jedności 9, a druga o cyfrze jedności 5, dadzą w wyniku liczbę o cyfrze jedności 5. Gdy dodamy do niej 1, otrzymamy liczbę o cyfrze jedności 6.

Odpowiedź: Ostatnią cyfrą tej liczby jest liczba 6.

b) Wiemy, już jak zmieniają się kolejne potęgi liczby 3. Gdy podniesiemy liczbę 3 do potęgi 22, przejdziemy 5 pełnych cykli i zatrzymamy się na drugiej z wymienionych cyfr z cyklu, ponieważ 22:4=5 r 2. Stąd ostatnią cyfrą liczby 322 jest liczba 9.

 

Sprawdźmy, jaką cyfrą kończą się kolejne potęgi liczby 2.

 

 

`2^1=2` 

 

`2^2=4` 

 

`2^3=8` 

 

`2^4=16` 

 

`2^5=32` 

 

`2^6=64` 

 

`2^7=128` 

 

`2^8=256` 

 

`2^9=512` 

 

`2^10=1024` 

 

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 2 powtarzają się w cyklu złożonym z czterech cyfr: 2, 4, 8 i 6.

 

Gdy podniesiemy liczbę 2 do potęgi 33, przejdziemy 8 pełnych cykli i zatrzymamy się na pierwszej z wymienionych cyfr, ponieważ 33:4=8 r1. Ostatnią cyfrą liczby 233 jest zatem cyfra 2.

`squaresquaresquaresquare2+squaresquaresquaresquare9=squaresquaresquaresquare1`