Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: 

Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch najkrótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku to trójkąt ten jest prostokątny. 

a) Musimy sprawdzić, czy:
$2^2+3^2\stackrel{?}{=}{5}^2$  
$L=2^2+3^2=4+9=13$  
$P=5^2=25$  

$L\ne P\text{czyli}{2}^2+3^2\ne 5^2$    

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że podane długości odcinków nie mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. 
$\underline{}$  

b) Sprowadźmy podane ułamki do wspólnego mianownika. 

$\frac{1}{5}=\frac{6}{30}$  

$\frac{1}{3}=\frac{10}{30}$  

$\frac{1}{2}=\frac{15}{30}$  

Musimy sprawdzić, czy:
${\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\stackrel{?}{=}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$   
$L={\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2={\left(\frac{6}{30}\right)}^2+{\left(\frac{10}{30}\right)}^2=\frac{36}{900}+\frac{100}{900}=\frac{136}{900}$   
$P={\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{15}{30}\right)}^2=\frac{225}{900}$   

$L\ne P\text{czyli}{\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\ne {\left(\frac{1}{2}\right)}^2$      

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że podane długości odcinków nie mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. 
$\underline{}$  

c) Musimy sprawdzić, czy:

${\left(2^2\right)}^2+{\left(3^2\right)}^2\stackrel{?}{=}{\left(5^2\right)}^2$    
$L={\left(2^2\right)}^2+{\left(3^2\right)}^2=2^4+3^4=16+81=97$    
$P={\left(5^2\right)}^2=5^4=625$   

$L\ne P\text{czyli}{\left(2^2\right)}^2+{\left(3^2\right)}^2\ne {\left(5^2\right)}^2$      

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że podane długości odcinków nie mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. 
$\underline{}$   

d) Musimy sprawdzić, czy:
${\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2\stackrel{?}{=}{\left(\sqrt{5}\right)}^2$  
$L={\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=2+3=5$  
$P={\left(\sqrt{5}\right)}^2=5$  
$L=P\text{czyli}{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$   

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że podane długości odcinków mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. 

Poprawna odpowiedź to: D. √2, √3, √5.